Aikaisemmissa luvuissa kävimme läpi fysiikan menetelmin saatua tietoa maailmankaikkeudesta. Tällainen tieto perustuu aina viime kädessä kokeellisuudelle: kokeilemalla keräämme tietoa, jonka avulla rakennamme malleja, joita testaamme uusilla kokeilla. Tämä systemaattinen metodi on kehittynyt pitkän ajan kuluessa ja sen opettelu vie aikansa. Tällä kurssilla aloitamme liikkeen tarkastelulla, myöhemmillä kursseilla tutustumme muun muassa gravitaatioon ja sähkömagnetismiin.

Lähdetään rakentamaan yksinkertaista mallia esimerkkisysteemin käyttäytymiselle. Seurataan systemaattista tapaa käsitellä mittaustuloksia:

1. Tehdään mittauksia halutuista suureista (esimerkiksi paikka ja aika).

2. Viedään mittaustulokset sopivaan koordinaatistoon (esimerkiksi (aika, paikka)-koordinaatisto).

3. Päätellään kuvaajasta säännönmukaisuutta (esimerkiksi mittauspisteet ovat suoralla). Sovitetaan pisteisiin sopiva käyrä.

4. Käytetään hyväksi saatua käyrää ja tehdään sen avulla ennusteita systeemin käytöksestä.

5. Kirjoitetaan käyrää kuvaava yhtälö, jolloin voidaan laskea ennusteita myös ilman kuvaajaa.

6. Testataan kuinka hyvin mallin antamat ennusteet toteutuvat käytännössä.

Monimutkaisille ilmiöille mallitkin ovat yleensä monimutkaisempia, mutta noudattavat samanlaista systematiikkaa. Me lähdemme kuitenkin liikkeelle yksinkertaisimmasta tapauksesta: tasaisen liikkeen mallintamisesta.

Nyt kun meillä on mittauspisteiden kautta kulkeva kuvaaja, voimme käyttää sitä arvioimaan Matin paikkaa mittauspisteiden ulkopuolella, esimerkiksi hetkillä t = 5,0 s tai t = 15,0 s. Nyt meillä on yksinkertainen graafinen malli, jonka avulla voimme vastata useisiin sellaisiin kysymyksiin, joihin ei löydy vastauksia pelkkien mittaustulosten avulla. Kun suurennamme kuvaa tarpeeksi, voimme lukea käyrältä vastauksen alkuperäiseen tutkimuskysymykseemme: Matilla kestää noin 76 sekuntia 100 metrin matkan kulkemiseen.

Tällaisissa tehtävissä on muutamia tyypillisiä virheitä, joita kannattaa välttää:

• Kun piirrät koordinaatiston käsin, varmista että akseleilla olevat suureet muuttuvat tasaisesti. Laita ensin akseleille mitta-asteikko ja vasta sen jälkeen vie mittauspisteet koordinaatistoon.

• Muista laittaa suureet ja käytetyt yksiköt akseleille, jotta lukija tietää mitä kuvaajassa on.

• Sovita mittauspisteisiin käyrä, älä vain yhdistä pisteitä murtoviivalla.

• Kun vastaat ilmiötä koskeviin kysymyksiin, käytä sovittamaasi käyrää (graafista mallia), äläkä mittauspisteitä.

Nyt voimme käyttää tätä matemaattista mallia annettujen kysymysten ratkaisemiseen. Esimerkiksi Matin paikka hetkellä t = 5,0 s saadaan:

tai jos haluamme tietää kauanko 100 metrin kulkeminen kestää

Kysymyksiin voi siis vastata joko kuvaajan avulla tai kuvaajaa vastaavan käyrän yhtälön avulla, molemmista tulee sama tulos. Rakentamamme malli (suoran kulmakerroin k = 1, 320 m/s ) kertoo meille, että yhden sekunnin aikana Matti kulkee aina 1,32 metriä. Tätä suuretta kutsutaan Matin nopeudeksi. Oikeammin kyseessä on nopeuden suuruus eli vauhti, nopeudella on nimittäin aina myös suunta: 1,320 m/s pohjoiseen on eri asia kuin 1,320 m/s itään, vaikka molemmissa vauhti on sama. Nopeuden suuruus voidaan siis katsoa (aika, paikka) -kuvaajan kulmakertoimesta, silloin kun kuvaaja on suora:

Tätä ensimmäisen asteen yhtälöä voidaan muokata tarpeen mukaan Kertaa ensimmäisen asteen yhtälö materiaalin alusta. silloin kun halutaan ratkaista kuljettu matka ∆x tai siihen käytetty aika ∆t, eli:

Esimerkki 1: Pertti pyöräilee alamäkeen tasaisella nopeudella 12 m/s . Kuinka kauan Pertillä kestää 70 metrin matka tällä vauhdilla?

Onko paikallaan oleminen tasaista liikettä?

Edellä esitetty Matin liike oli tasaista liikettä, sillä Matin nopeus pysyi koko ajan samana, eli Matti kulki vakionopeudella. Tällainen liikkeen määrittely nopeuden avulla herättää usein kysymyksen: "Jos Matti on paikallaan, hänen nopeutensa ei muutu. Onko hän siis silloinkin tasaisessa liikkeessä?"

Kun Matti on paikallaan, hän ei ole liikkeessä, eikä siis myöskään tasaisessa liikkeessä. Sanotaan, että Matti on levossa. Kysymykseen kätkeytyy kuitenkin tärkeä huomio liikkeen luonteesta ylipäänsä, joten katsotaan sitä hieman tarkemmin. Vaikka Matti olisi paikallaan, tiedämme hänen kiertävän sekä Aurinkoa että Maan pyörimisakselia, miksei myös Linnunradan keskipistettä - vieläpä aivan uskomattomalla vauhdilla! Onko Matti siis sittenkään levossa?

Tärkeä huomio liikkeestä on, että se on aina suhteellista. Liike riippuu aina siitä, kuinka sitä katsotaan. Matti on levossa siinä kontekstissa, joka tuntui tässä yhteydessä kaikkein luonnollisimmalta: suhteessa Maan pintaan ja mittausten tekijään. Fyysikot puhuvat tässä yhteydessä usein eri koordinaatistoista: Luokan koordinaatistossa oppilas on paikallaan, mutta Auringon koordinaatissa hän kiertää ympyrärataa Auringon ympäri. Useimmissa tilanteissa liikkeestä puhutaan nimenomaan esimerkiksi suhteessa luokkahuoneeseen, vaikka tätä ei erikseen mainittaisikaan.

Edellisessä luvussa katsoimme Matin tasaista liikettä, Matti kulki koko ajan samalla nopeudella v = 1, 32 m/s . Se on tietenkin vain yksinkertaisin mahdollinen tapaus: nopeuden suunta sekä suuruus pysyvät koko ajan samoina. Pidämme yksinkertaisuuden vuoksi nopeuden suunnan edelleen vakiona, mutta lähdemme muuttamaan sen suuruutta.

A ja B lähtevät molemmat hetkellä t = 0 s kohdasta x = 0 m. Ne kohtaavat hetkellä t = 6 s kohdassa x = 5 m. Kappaleen B liike on meille tuttua tasaista liikettä: sen kuvaaja on suora, joten nopeus pysyy koko ajan samana. Koska B liikkuu aina kuuden sekunnin aikana viisi metriä, voimme laskea B:n nopeuden

Kappaleen A nopeus kasvaa, joten katsotaanpa miten voisimme arvioida kappaleen A nopeutta eri ajanhetkillä. Jos katsomme äsken tekemäämme keskinopeuden määrittämistä, otimme siinä jonkin aikavälin ja tässä ajassa kuljetun matkan, joiden avulla saimme keskinopeuden. Tämä voidaan tietenkin tehdä myös pidemmille tai lyhyemmille aikaväleille. Jos kysyisimme keskinopeutta vaikkapa välillä 0 s...2 s, saisimme samalla tavoin kuin yläpuolella tulokseksi

Hetkellinen nopeus saadaan rajatapauksena, kun aikaväli kutistetaan äärettömän pieneksi. Tällöin kuvassa näkyvä suora sivuaa A:n liikkeen käyrää. Tällaista suoraa sanotaan käyrän tangentiksi, ja sen kulmakerroin antaa kappaleen hetkellisen nopeuden. A:n tapauksessa voidaan määrittää nopeudet hetkillä t = 0 s ja t = 6 s suoraan Geogebralla.

Geogebra antaa käyrää sivuavien suorien yhtälöt, joista luetaan kulmakertoimet eli halutut hetkelliset nopeudet v(t = 0s) ≈ 0, 30 m/s ja v(t = 6s) ≈ 1, 8 m/s.

Jos taas mittaisimme kuulan paikkaa sekunnin välein, tuloksena ei voi olla suora, sillä kuulan paikka muuttuu sitä nopeammin, mitä pidemmälle ajassa mennään. Tätä ei tarvitse osata laskea, mutta tuloksena olisi seuraavanlainen paraabelin puolikas.

Ratkaisu:

a) Etsitään kummastakin suorasta kulmakerroin, eli katsotaan kuinka monta metriä kappale liikkuu yhden sekunnin aikana

b) Kappaleen A nopeuden suuruus on 0, 5 m/s, kappaleen B nopeuden suuruus 1 m/s . B:n kulkee nopeammin. Miinusmerkki B:n nopeudessa tarkoittaa, että B kulkee vastakkaiseen suuntaan.

c) Kummankin kappaleen nopeus pysyy vakioina (nopeus ei muutu), joten kummankin kappaleen kiihtyvyys on nolla