Gravitaation alainen ympyräliike

Yksinkertainen malli Aurinkokunnan planeettojen liikkeelle on, että ne kaikki kulkevat ympyrärataa, kukin omalla etäisyydellään Auringosta. Auringon massa on niin paljon suurempi kuin planeettojen massa, että planeettojen vaikutus voidaan toistaiseksi unohtaa (palaamme siihen myöhemmin).

Tässä kopernikaanisessa mallissa kukin planeetta on ympyräliikkeessä ja niihin vaikuttaa merkittävästi vain yksi voima: Auringon aiheuttama gravitaatiovoima. Koska ne ovat ympyräliikkeessä, niillä on normaalikiihtyvyyttä, jonka tuo gravitaatiovoima aiheuttaa. Tällöin saamme gravitaatiovoiman ja normaalikiihtyvyyden välille Newtonin toisen lain mukaisen yhtälön, jota voimme hieman sieventää

Jos tiedämme esimerkiksi Maan etäisyyden Auringosta r ja Maan ratanopeuden v, voimme arvioida kuinka suuri Auringon massa M on. Palaamme tähän malliin hetken päästä, vilkaistaan ensin mitä planeettojen radoista tiedetään, sillä ne eivät esimerkiksi oikeasti ole ympyröitä.

Yksinkertaisin aurinkokeskinen malli Aurinkokunnan kahdeksasta planeetasta. Kaikki planeetat kiertävät samaan suuntaan. Mallikuvissa etäisyydet ovat väistämättä pielessä, katso video, miltä malli näyttäisi oikeissa mittasuhteissa:

Keplerin lait

Kopernikus julkaisi aurinkokeskisen mallinsa vuonna 1543. Siinä planeetat kiertävät Aurinkoa erisäteisillä ympyräradoilla aivan kuten äsken kuvasimme. 1500-luvun loppupuoliskolla tanskalainen astronomi Tyko Brahe keräsi tähtien ja planeettojen liikkeistä tarkkaa sijaintiaineistoa, joiden perusteella oli selvää ettei kopernikaaninen malli täysin vastannut havaintoja.

Marsin havaittua rataa tutkimalla Brahen oppilas Johannes Kepler ehdotti planeettojen liikkeille paremmin mittausdataan sopivan mallin, joka voidaan tiivistää kolmen niin kutsutun Keplerin lain avulla

1. Planeettojen radat ovat ellipsejä, joiden toisessa polttopisteessä on Aurinko.

2. Planeetan ja Auringon välille piirretty jana pyyhkii samassa ajassa aina yhtä suuren pinta-alan.

3. Planeetan kiertoajan neliö on suoraan verrannollinen sen Auringosta mitatun keskietäisyyden kuutioon (T2 ∼ r3).

Toinen ja kolmas laki ovat jokseenkin yllättäviä eikä niitä olisi varmastikaan pystytty löytämään ilman hyvää havaintoaineistoa. Tämä olikin ensimmäisiä kertoja, kun huolellinen mittaaminen tuotti parempia tuloksia kuin pelkkä ajatustyö.

Esimerkki: Arvioi Jupiterin kiertoaika Keplerin kolmannen lain avulla, kun sen keskietäisyys Auringosta on 5,20 kertainen Maan keskietäisyyteen verrattuna. Vertaa saatua tulosta kiertoajan taulukkoarvoon.

Ratkaisu: Keplerin kolmannen lain mukaan kiertoajan neliön on verrannollinen keskietäisyyden kuutioon. Merkitään Maan ja Jupiterin kiertoaikoja ja keskietäisyyksiä Auringosta seuraavasti

Näiden verrannollisuus on Keplerin III lain mukaisesti

Ratkaistaan tästä Jupiterin kiertoaika Maan kiertoajan avulla

Vastaus: Jupiterin kiertoaika on noin 11, 9 vuotta. Tämä vastaa hyvin taulukkokirja-arvoa 11, 863 a.

Ympyrällä on yksi keskipiste, ellipsillä on kaksi polttopistettä.

Planeetan ollessa lähempänä Aurinkoa se kulkee nopeammin. Samassa ajassa janan pyyhkäisemät pinta-alat ovat samat. (Tavallisesti radat ovat lähempänä ympyrää kuin tässä kuvassa, jossa on liioiteltu elliptisyyttä.)

Ympyräliike

Keplerin lakien mukaiset ellipsiradat ovat matemaattisesti hankalia, joten palataan Kopernikuksen ympyräratoihin. Olettamalla Aurinko niin massiiviseksi, että planeettojen liike vaikuttaa siihen vain vähän, voimme ajatella jokaisen planeetan kiertävän Aurinkoa ympyrärataa pitkin.

Tällöin planeetan pitää radallaan Auringon aiheuttama gravitaatiovoima, joka antaa planeetalle normaalikiihtyvyyden. Planeetta on siis kiihtyvässä liikkeessä, eli vapaapudotuksessa, kohti Aurinkoa. Ainoastaan sopivan suuruinen ratanopeus pitää sen ympyräradalla, ilman ratanopeutta planeetta putoaisi Aurinkoon.

Johdimme jo aiemmin ratanopeuden ja radan säteen välisen lausekkeen, mutta tehdään se tässä kertauksen vuoksi uudelleen. Kun Newtonilainen gravitaatiovoima on ainoa kappaleseen vaikuttava voima, saadaan yhtälö

Aurinkokunnan planeetoille M on Auringon massa ja r-säteisellä radalla ratanopeuden suuruuden täytyy olla

Esimerkki: Olettamalla Maan rata ympyräksi, määritä Auringon massa ja vertaa sitä taulukkoarvoon. Voit käyttää taulukkokirjasta löytyviä tietoja Maan keskietäisyydelle Auringosta ja Maan kiertoajalle.

Ratkaisu: Ympyräradalla ratanopeudelle pätee

Sijoitetaan tämä ylläolevaan säteen ja ratanopeuden väliseen yhtälöön ja ratkaistaan sen jälkeen Auringon massa:

Taulukkoarvo Auringon massalle on on niin ikään

Kyseessä ei ole sattuma, vaan Auringon massan taulukkoarvo on arvioitu juuri tällä menetelmällä.

Vastaus: Auringon massa on noin 1,989 · 10³⁰ kg suuruinen

Liike yhteisen massakeskipisteen ympäri

Edellä ajattelimme Maan kiertävän paikallaan pysyvää Aurinkoa, joka on Maan radan keskipisteessä. Maan ympyräliikkeen aiheuttaa gravitaatiovuorovaikutus Auringon kanssa. Kuitenkin Newtonin III lain mukaan Maa aiheuttaa Aurinkoon täsmälleen yhtä suuren gravitaatiovoiman, joten eikö silloin Aurinkokin päädy ympyräradalle?

Vastaus on kyllä, Aurinkokin kiertää ympyrää (jos unohdetaan muiden planeettojen kuin Maan vaikutukset Aurinkoon). Käy kuitenkin niin, että Auringon kiertämä ympyrä on niin pieni, että sitä tuskin huomaa. Tämä on seurausta Auringon suuresta massasta Maan massaan nähden - jos massat olisivat lähempänä toisiaan, olisi liike merkittävästi erinäköistä. Mitä Aurinko sitten kiertää ja kiertääkö Maakaan oikeastaan Aurinkoa?

Voimme vastata kysymykseen ajattelemalla Maan ja Auringon sijaan kauempaa katsottua systeemiä, jossa Maa ja Aurinko korvataan yhdellä ”kappaleella”. Tämän systeemin massa on siten Maan ja Auringon yhteenlaskettu massa ja sen keskipiste on näiden kahden massakeskipiste. Ulkopuolelta katsottuna tämän ”kappaleen” gravitaatiovuorovaikutuksen voi siis ajatella tulevan tästä pisteestä yhteenlasketun massan suuruisena.

Unohdetaan tässä yksinkertaisuuden vuoksi Aurinkokunnan muiden taivaankappaleiden vaikutus Maan ja Auringon liikkeeseen ja ajatellaan näiden kahden liikkuvan tyhjässä avaruudessa.

Kahden kappaleen järjestelmää voidaan ulkopuolelta katsottuna ajatella yhtenä systeeminä, jonka massa on sen massakeskipisteessä.

Jos ajatellaan tämän yhdistelmän olevan aluksi paikallaan, se myös pysyy paikallaan, sillä siihen ei vaikuta mitään ulkoisia voimia. Tämä pätee siitäkin huolimatta, että systeemi pyörii. Toisin sanoen systeemin massakeskipiste ei liiku. Ainoa mahdollisuus tähän puolestaan on, että pyöriminen tapahtuu massakeskipisteen ympäri. Maa ja Aurinko siis kumpikin kiertävät niiden yhteistä massakeskipistettä.

Tämä pätee kaikkiin kahden kappaleen muodostamiin järjestelmiin, joissa on niiden keskinäisen vuorovaikutuksen aiheuttamaa ympyräliikettä. Voit verrata tätä tilanteeseen, jossa pidätte kaverisi kanssa köyden vastakkaisista päistä kiinni ja kierrätte ympyrää liukkaalla alustalla. Ilman merkittävää kitkaa kummankin täytyy olla ympyräliikkeessä yhteisen massakeskipisteenne ympäri. Tästä analogisesta tilanteesta on myös selvää, että kappaleiden kiertoajat ovat aina samat sillä ne pysyttelevät aina massakeskipisteen vastakkaisilla puolilla.

Kuten olemme aiemmin oppineet, kahden kappaleen väliselle massakeskipisteelle pätee yhtälö

missä r₁ ja r₂ ovat kappaleiden keskipisteiden etäisyydet massakeskipisteestä (kiikkulaudalla ne olisivat vipuvarsien pituudet). Nämä ovat siis esimerkiksi Maan ja Auringon tapauksessa niiden kiertoratojen säteet. Jos kirjoitamme termit toiseen järjestykseen

näemme, että kiertosäteet ovat kääntäen verrannollisia kappaleiden massoihin.

Koska Maan massa on suuruusluokaltaan noin miljoonasosa Auringon massasta, on sen kiertosäde noin miljoonakertainen Auringon radan säteeseen nähden (edelleen ilman muiden taivaankappaleiden vaikutusta). Tästä syystä on perusteltua tehdä yksinkertaistus, jossa Maa kiertää paikallaan pysyvää Aurinkoa.

Auringon kiertosäde on niin lyhyt, että se jää Auringon sisälle.

On kuitenkin olemassa myös järjestelmiä, joissa gravitaatiovuorovaikutuksen alaisesti ympyrää kiertävien kappaleiden massat ovat lähellä toisiaan. Havaitsemissamme järjestelmissä toisiaan kiertävät esimerkiksi kaksi tähteä, kaksi neutronitähteä tai kaksi mustaa aukkoa.

Esimerkiksi toisiaan kiertävien neutronitähtien pyöriminen on niin voimakasta, että pyöriminen synnyttää runsaasti gravitaatioaaltoja tähtiä ympäröivään gravitaatiokenttään. Ensimmäisen tällaisen vuonna 1974 havaitun kahden neutronitähden järjestelmän arvioidaan menettävän energiaa gravitaatioaaltoina teholla, joka on noin kaksinkertainen Auringon säteilytehoon verrattuna.

Tämän ”Hulse-Taylo” kaksoispulsarin havaitsemisesta myönnettiin fysiikan Nobel-palkinto vuonna 1993. Selvitä mitä pulsarilla tarkoitetaan.



Pienempi massa (ulompi kappale) kiertää massakeskipistettä suuremmalla radalla kuin suurempi massa (sisempi kappale). Kiertoajat ja kiertosuunta ovat samat. Kuvassa oleva kappaleet yhdistävä katkoviiva siis pyörii massakeskipisteen ympäri muuttamatta muotoaan.

Esimerkki: Kaksi neutronitähteä kiertävät toisiaan ympyräradoilla vakioetäisyydellä r = 1,4 · 10⁹ m. Tähtien massat Auringon massan avulla kirjoitettuina ovat

Määritä tähtien kiertosäteet ja kiertoajat.

Ratkaisu: Kiertosäteet löydetään etsimällä massakeskipisteen paikka. Etäisyyksille massakeskipisteestä pätevät yhtälöt

Sijoittamalla jälkimmäiseen yhtälöön tähtien massat Auringon massan avulla saadaan yhtälöpari, josta voidaan ratkaista (esimerkiksi CAS-laskimella) säteiden suuruudet

Tarvitaan vielä neutronitähtien kiertoajat. Ne ovat kummallekin samat, joten riittää löytää yhden kiertoaika, etsitään vaikkapa raskaamman tähden kiertoaika T₁. Sille pätee ensinnäkin ratanopeuden avulla kirjoitettu yhtälö

Ratanopeuden suuruuteen pääsemme jälleen käsiksi Newtonin II lain avulla

Huomaa erityisesti kuinka voiman lausekkeessa (yhtälön vasen puoli) oleva etäisyys on tähtien välinen etäisyys, mutta normaalikiihtyvyyden lausekkeessa on kiertoradan säde r1. (Mieti miksi näin on.)

Sijoitetaan tähän ratanopeuden lauseke kiertoajan avulla ja ratkaistaan kiertoaika

Sijoittamalla suureiden arvot, saadaan kiertoajaksi

Vastaus: Kummankin neutronitähden kiertoaika on noin 3 h 20 min. Painavamman kiertosäde on noin 550 000 km ja kevyemmän noin 850 000 km. (Kiertosäteet ovat Auringon säteen suuruusluokkaa, eli järjestelmä on todella pieni.)

Tehtävät

Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen.

1. Mitkä ovat Keplerin kolme lakia? Perustele lyhyesti, minkä takia Kuu kiertää nimenomaan maapalloa eikä toisinpäin?

Kuun ja maapallon välillä on gravitaatiovuorovaikutus, jolloin Kuu vetää yhtä suurella voimalla kuin maapallo vetää Kuuta. Koska maapallo on massaltaan merkittävästi suurempi kuin Kuun massa, joten Kuu kiertää nimenomaan maapalloa eikä toisin päin.

Katso ratkaisut

2. Maapallon kiertoaika Aurinkoa ympäri on noin 1,0000 a ja Jupiterin vastaavasti 11,863 a. Jos maapallon keskietäisyys Auringon noin 149,6 · 10⁶ km, mikä on tällöin Jupiterin keskietäisyys Auringosta?

778 100 000 km

3. Planeetoilla on useimmiten useita kuita poiketen Maasta. Esimerkiksi Marsilla on kaksi pientä kuuta, Phobos ja Deimos. Phobos kiertää Marsin likimäärin 0,32 vuorokaudessa ja sen etäisyys Marsista on noin 9370 km. Deimoksen etäisyys Marsista on likimäärin 23 400 km. Kuinka kauan kestää Deimoksella kiertää Marsin?

1,26 d

4. Laske Merkuriuksen normaalikiihtyvyys kiertoradallaan (= Auringon keskipistettä kohti).

0,0402 m/s²

5. Titan on Saturnuksen suurin kuu, joka kiertää Saturnuksen ympäri keskimäärin 15,9 vuorokaudessa. Mikä on tällöin Titanin normaalikiihtyvyys Saturnusta kohti?

0,0256 m/s²

6. Oletetaan, että Venus kiertää pitkin ympyrärataa Aurinkoa. Laske Auringon massa kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.

1,99 · 10³º kg

7. Eräs avaruusteleskooppi liikkuu maapallon päiväntasaajan yläpuolella ja pysyy paikallaan Maapalloon nähden. Millä korkeudella avaruusteleskooppi on?

35 796 km

8. Eräs satelliitti kiertää Kuuta korkeudella 598 km vakioratanopeudella. Jos ilmanvastusta ei huomioida tilanteessa, mikä kyseisen satelliitin

a) ratanopeus?

b) kiertoaika?

c) kulmanopeus?

a) 2,9 km/s

b) 85,4 min

c) 0,0012 rad/s

9. Selitä lyhyesti mikä on kaksoistähti? Millaisia ominaisuuksia kaksoistähdellä on ja miten niitä voidaan hyödyntää laskennallisessa ongelmanratkaisussa?

Katso malliratkaisut

10. Olkoot neutronitähdet A ja B, jotka muodostavat yhdessä kaksoistähden. Neutronitähtien etäisyys voidaan olettaa vakioksi, joka on R = 9,1 · 10¹² m . Lisäksi neutronitähtien massat Auringon massan MA avulla ilmaistuina ovat MA = 1, 3 · MAurinko sekä MB = 5,7 · MAurinko. Selvitä neutronitähtien A ja B ratojen säteet, kun molemmat kiertävät omaa ympyrärataansa järjestelmän massakeskipisteen ympäri vakionopeudella? Entä mitkä ovat neutronitähtien A ja B kiertoajat?

RA = 7,4 · 10¹² m

RB = 1,7 · 10¹² m

180 a

11. Triton on Neptunuksen kuista suurin kuu. Kuvitellaan, että se kiertää Neptunuksen kanssa yhteisen massakeskipisteen ympäri. Mikä on tällöin Tritonin ja Neptunuksen välisen massakeskipisteen paikka? (Huom. alla oleva kuva on vain hahmotelmakuva, jossa säteiden suhde ei ole oikein!)

24 550 km etäisyydellä Neptunuksen keskipisteestä.