Liike

Suoraviivainen liike on sellaista, jossa ei tapahdu suunnanmuutoksia. Suoraviivaista liikettä on käsitelty jo FY1-kurssilla, mutta kerrataan kuitenkin perusasiast, sillä niitä tarvitaan jatkossa.

Täydennämme liikkeen tarkastelua seuraavalla kurssilla, jossa käsittelemme pyörimisliikettä ja ympyräliikettä.

Tasainen liike - vakionopeus

Kun kappale liikkuu vakionopeudella (merkitään tämän vakionopeuden suuruutta tässä v0), sen paikka (x) muuttuu jokaisen sekunnin aikana yhtä paljon. Tällöin puhutaan tasaisesta liikkeestä. Jos kappale lähtee liikkeelle paikasta x0 (paikka hetkellä t = 0 s), sen paikka hetkellä t voidaan laskea yhtälöstä:

x(t) = x0 + v0t

Tämä on suoran yhtälö, joten paikkafunktion x(t) kuvaaja (t, x)koordinaatistossa on suora (vertaa y(x) = kx + b). Tämän suoran kulmakerroin on nopeus v0 ja lähtöpaikka x0 on sama kuin suoran ja pystysuoran akselin leikkauspiste.

Kokeellisesti voimme määrittää paikkafunktion mittaamalla kappaleen paikan eri ajanhetkillä ja piirtämällä paikan kuvaajan. Tasaisessa liikkeessä tästä kuvaajasta laskettu suoran kulmakerroin on kappaleen nopeus v0 ja pystyakselin leikkauspiste on lähtöpaikka x0.

Huomaa, että negatiivinen nopeus tarkoittaa vastakkaiseen suuntaan liikkumista. Jos siis vertaillaan esimerkiksi kahden samalla suoralla tiellä liikkuvan auton nopeuksia

v1 = 2 m/s v2 = -4 m/s

voidaan sanoa nopeuden v2 olevan kaksi kertaa niin suuri kuin v1 ja autojen liikkeen olevan vastakkaisiin suuntiin.

Fysiikan kuvaajia tarkasteltaessa erityisen tärkeää on huomioida

Kuva 1.1 : Tasaisen liikkeen paikan kuvaaja.

1. Mitä on koordinaattiakseleilla.

2. Mitkä ovat yksiköt.

Esimerkiksi tasaisessa liikkeessä voidaan puhua monesta eri suureesta, jolloin jokaisella suureella on tietenkin myös oma kuvaajansa. Pohdi miltä edellisissä esimerkeissä näyttäisivät nopeuden (t, v)-kuvaaja tai kiihtyvyyden (t, a)-kuvaaja. Entä liike-energian (t, Ek)-kuvaaja ja miten kappaleen massa vaikuttaa tähän kuvaajaan?

Keskinopeus

Haluamme tietenkin puhua liikkeestä myös silloin, kun nopeus muuttuu. Tällöin paikan kuvaaja ei ole suora, eikä sillä siksi ole myöskään kulmakerrointa. Voimme kuitenkin määrittää jollakin aikavälillä toteutuneen keskinopeuden sekä tietyllä ajanhetkellä hetkellisen nopeuden. Nämäkin saadaan suorien kulmakertoimina. Kuvassa 1.4 on kuvattu kappaleen liikettä. Haluaisimme tietää kappaleen keskinopeuden aikavälillä t = 0s . . . 4s. Kuva 1.5: Keskinopeus ”sekantin” kulmakertoimena. Keskinopeus lasketaan jakamalla paikan muutos (eli siirtymä) siihen käytetyllä ajalla. Kuvaajasta siis luetaan paikan muutos ja ajan muutos ja jaetaan ensimmäinen jälkimmäisellä:

Samaan tulokseen päästään, jos pisteiden väliin vedetään suora ja määritetään tämän suoran kulmakerroin.

Kappaleen keskinopeus saadaan vertaamalla paikan muutosta siihen kuluneeseen aikaan.

Keskinopeus ”sekantin” kulmakertoimena.

Hetkellinen nopeus

Entä, jos haluamme tietää millä nopeudella edellisen esimerkin kappale kulkee hetkellä t = 4s. Tämä on sama asia, kuin että laskisimme ”keskinopeuden” välillä t = 4s . . . 4s, eli siirtäisimme kuvassa 1.4 olevan ensimmäisen pisteen samaan kohtaan kuin jälkimmäinen piste. Tällöin kuvaajassa oleva suora sivuaa liikkeen kuvaajaa. Tällaista suoraa sanotaan tangentiksi. Hetkellinen nopeus on tämän tangenttisuoran kulmakerroin.

Jos meillä on kappaleen paikan kuvaaja, voimme aina määrittää hetkellisen nopeuden tästä kuvaajasta piirtämällä kuvaajalle tangentin ja määrittämällä tämän suoran kulmakertoimen. Tangentin kulmakerroin on kappaleen nopeus v(t) tuona hetkenä t. Mitä suurempi on kulmakertoimen itseisarvo, sitä nopeammin paikka muuttuu eli sitä suurempi on nopeus.

Hetkellinen nopeus on tangentin kulmakerroin. Kuinka suuri nopeus on kohdassa t = 4 s?

Opit myöhemmin matematiikassa, kuinka tangentin kulmakerroin saadaan derivaatan avulla. Nopeus on paikan kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin, joten nopeusfunktio on paikkafunktion derivaattafunktio v(t) = dx(t)/dt .

Paikan määritys nopeuden kuvaajasta

Jos mittaamme kappaleen nopeuden ja piirrämme tulokset (t, v)- koordinaatistoon, voimme määrittää haluttuna aikavälillä kuljetun matkan. Tämä tehdään mittausohjelmalla graafisesti integroimalla. (Vakionopeudella liikuttaessa matka on helppo myös laskea, mutta jos nopeus muuttuu, laskusta tulee hankalampi).

Kuljettu matka on (t, v)-kuvaajan ja koordinaattiakselin väliin jäävän alueen pinta-ala. Laskentaohjelmistoista löytyy yleensä valmis toiminto graafiselle integroinnille, jonka avulla tämä pinta-ala on helppo määrittää.

Tässä kohtaa kannattaa erottaa toisistaan kuljettu matka ja paikan muutos, eli ”siirtymä”. Jos kuljet kymmenen metriä yhteen suuntaan ja palaat takaisin lähtöpaikkaan, on kuljettu matka 20 metriä, mutta paikan muutos 0 metriä. Tällöin keskinopeus on nolla, mutta keskivauhti on nollasta poikkeava.

Jos nopeus saa sekä positiivisia että negatiivisia arvoja (liike on vastakkaiseen suuntaan), saadaan kuljettu matka kuvaajasta, kun summataan positiivisen ja negatiivisen puolen pinta-alat keskenään. Paikan muutos eli siirtymä taas saadaan, kun tarkastellaan positiivisella ja negatiivisella puolella olevien pinta-alojen erotusta.

Kannattaa tarkistaa antaako käyttämäsi ohjelman integrointityökalu tällaisessa tilanteessa matkan vai siirtymän, eli tulevatko negatiivisella puolella olevat osat kertymään mukaan plus- vai miinusmerkillä.

Kuljettu matka saadaan nopeuden kuvaajasta graafisesti integroimalla. Esimerkiksi Geogebrassa voit käyttää Integroi-komentoa pinta-alan määrittämiseen.

Paikan muutos eli siirtymä saadaan kuvaajasta graafisesti integroimalla. Tässä esimerkissä tulos välillä t = 1 . . . 4 s on A1 = 0 m. Kuljettu matka A2 = 5,09 m saadaan integroimalla käyrän itseisarvoa.

Tasaisesti kiihtyvä liike - vakiokiihtyvyys

Hetkellinen nopeus saadaan paikan kuvaajasta kulmakertoimena. Jos nopeus muuttuu, on kyseessä kiihtyvä liike. Kiihtyvyys kertoo kuinka nopeasti (ja mihin suuntaan) nopeus muuttuu. Nopeus on paikan muutosnopeus, kiihtyvyys on nopeuden muutosnopeus.

Aivan kuten yksinkertaisin tapaus nopeudesta on vakionopeus, on yksinkertaisin tapaus kiihtyvyydestä vakiokiihtyvyys. Kun kiihtyvyys on vakio, nopeus muuttuu tasaisesti. Esimerkiksi, jos kappaleen nopeus kasvaa joka sekunti määrän ∆v = 2 m/s , on sen kiihtyvyys a = 2 m/s2 . Jos kappaleen nopeus hetkellä t = 0 on v₀ , on se hetkellä t: v(t) = v₀ + at

Tämä on jälleen suoran yhtälö, nyt (t, v)-koordinaatistossa. Suoran kulmakerroin a on kappaleen kiihtyvyys ja vakiotermi v₀ on kappaleen alkunopeus.

Nopeusfunktio voitaisiin jälleen määrittää kokeellisesti mittaamalla nopeus eri ajanhetkinä, sovittamalla mittaustuloksiin suora ja määrittämällä tämän suoran yhtälö.

Nyt tiedämme miten nopeus muuttuu vakiokiihtyvyydessä: se kasvaa tasaisesti. Mutta miten paikka muuttuu? Jos nopeus esimerkiksi kasvaa tasaisesti, voimme päätellä että paikka muuttuu koko ajan nopeammin. Tällöin paikan kuvaajasta ei tule suora, vaan siitä tulee paraabeli. Tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä paikan hetkellä t voi laskea paikkafunktiosta

missä x₀ on lähtöpaikka, v₀ on lähtönopeus ja a on kiihtyvyys. Tämä on paraabelin yhtälö, joten tasaisesti kiihtyvän liikkeen paikkaa kuvaa paraabeli.

Nopeuden kuvaajan kulmakerroin on kiihtyvyys. Tässä esimerkissä a = 1/2 m/s2

Tasaisesti kiihtyvän liikkeen paikan kuvaajasta tulee paraabeli.

Tässä tapauksessa kiihtyvyys on a = 1/2 m/s2 . Liike on sama kuin viereisessä nopeuden kuvaajassa

Tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä kappaleen paikka ja nopeus kehittyvät siis näiden yhtälöiden mukaan:

Hetkellinen kiihtyvyys sekä nopeuden määritys kiihtyvyyden kuvaajasta

Olemme nyt katsoneet tasaista liikettä (vakionopeus, ei kiihtyvyyttä) ja tasaisesti kiihtyvää liikettä (nopeus muuttuu tasaisesti, vakiokiihtyvyys). Kaikkein yleisimmässä tapauksessa, jossa kiihtyvyys muuttuu hetkestä toiseen, tilanne on hankalampi.

Kappaleen hetkellinen nopeus on aina paikan kuvaajalle piirretyn tangetin kulmakerroin. Hetkellinen kiihtyvyys puolestaan on nopeuden kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin. Paikan kuvaajasta pääsemme siis kiinni nopeuteen ja nopeuden kuvaajasta kiihtyvyyteen.

Meillä on käytössä myös vastakkaissuuntainen reitti nopeuden kuvaajasta paikan muutokseen: se on nopeuden kuvaajan ja aika-akselin väliin jäävä pinta-ala. Samalla tavoin kiihtyvyyden kuvaajan ja aikaakselin väliin jäävä pinta-ala on kertynyt nopeus. Näihin kertymiin pitää vielä lisätä mahdollinen lähtöpaikka (x₀) ja lähtönopeus (v₀).

Jos kiihtyvyys saa sekä positiivisia että negatiivisia arvoja (hidastuva liike), saadaan kertynyt nopeuden muutos laskemalla positiivisen puolen ja negatiivisen puolen pinta-alojen erotus.

Tangentin kulmakertoimen avulla pääsemme siis kiinni suureen muutosnopeuteen ja graafisella integroinnilla pääsemme kiinni kertyneeseen määrään. Resepti on yksinkertainen, mutta vaatii harjoittelua.

Paikan muutos saadaan nopeuden kuvaajan ja x-akselin välisenä pinta-alana.

Jos nopeus saa myös negatiivisia arvoja, täytyy paikkaa laskiessa tämä osuus ottaa huomioon eri merkillä

Nopeuden muutos saadaan kiihtyvyyden kuvaajasta graafisesti integroimalla.

Negatiivinen kiihtyvyys pienentää nopeutta, joten sen osuus tulee laskuun eri merkillä.

Tehtäviä

Tehtävien malliratkaisut PDF:nä oheisesta linkistä.

Klikkaa tehtävää nähdäksesi oikeat vastaukset

T1. Pallo vierii tasaisella nopeudella 2,0 m/s. Pallon paikka ajanhetkellä t₀ = 2,0 s on x₀ = 5,0 m. Mikä on pallon paikka ajanhetkellä 5,5 s?

Vastaus: 12,0 m

T2. Ihmisen reaktioaika on noin 0,25 s näköhavaintoon. Autoilijan eteen hyppää hirvi ja kuljettaja tekee hätäjarrutuksen. Auton nopeus ennen jarrutuksen aloittamista on 100 km/h. Kuinka pitkän matkan auto ehtii liikkua reaktioajan aikana?

Vastaus: Noin 7 metriä

T3. Radio-ohjattavalla autolla ajetaan vakionopeudella 18 metrin radan suora, minkä jälkeen se törmää seinään. Suoran alkupäässä seisova ohjaaja kuulee törmäysäänen 3,4 s auton lähtemisen jälkeen. Mikä oli autonnopeus? Äänen nopeus ilmassa on noin 340 m/s.

Vastaus: 5,4 m/s

T4. Alapuolella on erään tutkittavana olleen kappaleen liikkeen kuvaaja. Kuinka pitkän matkan kappale kulki koko 9 sekunnin aikana?

Vastaus: 12 metriä

T5. Yläpuolella on erään tutkittavana olleen kappaleen liikkeen kuvaaja. Mikä oli kappaleen nopeus ennen käännöstä takaisin?

Vastaus: 2 m/s

T6. Kaivoon pudotettiin kivi. 6,0 sekunnin kuluttua kuuluu kuinka kivi molskahtaa veteen. Kuinka syvällä vedenpinta on kaivossa? Äänen nopeus ilmassa on noin 340 m/s

Vastaus: Noin 150 metriä

T7. Liisa-Petteri seisoi kahden vuoren välissä 100 metrin etäisyydellä toisesta vuoresta. Hän iski yhteen kaksi rautakalikkaa ja hetken kuluttua kuuli kaiun kaksi kertaa. Kaikujen välillä oli 2 sekuntia. Mikä oli vuorten välimatka? Äänen nopeus ilmassa on 340 m/s.

Kysytty vuorten välimatka on 440m+ 100m = 540m.

T8. Auto pysäytetään nopeudesta 80 km/h. Jarrutus on tasainen ja kestää 5,0 sekuntia. Kuinka pitkän matkan auto kulkee jarrutuksen aikana?

Vastaus: Noin 170 metriä

T9. Pallo lähtee levosta ja vierii kaltevaa tasoa pitkin. Tason pituus on 10 metriä ja keskinopeudeksi mitattiin 2,4 m/s. Mikä oli pallon kiihtyvyys?

Vastaus: 1,15 m/s2

T10. Pallo heitetään suoraan alaspäin alkunopeudella 10 m/s. Kuinka pitkän matkan pallo putoaa 5,0 sekunnin aikana?

Vastaus: Noin 170 metriä

T11. Allaoleva t,x -kuvaaja on kertoo sähkörobotin paikan ajan funktiona. Vastaa kysymyksiin kuvaajan avulla.

a) Kuinka kaukana lähtöpisteestä robotti käy?

b) Kuinka pitkän matkan robotti kulkee mittauksen aikana?

c) Laske robotin keskinopeus aikavälillä 0s...40s

d) Määritä robotin hetkelliset nopeudet ajanhetkillä t=5s, t=25s ja t=45s.

a) 20 m

b) 40 m

c) 0,5 m/s

d) 0,67 m/s, 0 m/s, -2,0 m/s

T12. Mitkä seuraavista kuvaajista kuvaa tasaista liikettä? Entä tasaisesti kiihtyvää?

Tasaista liikettä vastaa kuvaajat e) ja f). Kuvaajassa e) paikka muuttuu koko ajan samalla kulmakertoimella ja kuvaajassa f) nopeus on vakio. Tasaisen liikkeen erikoistapaus on myös b), jossa nopeus = 0.

Tasaisesti kiihtyvää liikettä kuvaa a), jossa nopeus muuttuu koko ajan samalla kulmakertoimella. Lisäksi d) kuvaa paikkaa kiihtyvässä liikkeessä, kulmakerroin on jatkuvassa muutoksessa.

Kuvaajassa c) nopeus muuttuu koko ajan kiihtyvällä tahdilla, eli kiihtyvyys ei ole vakio.

T13. Seuraavat suoran yhtälöt kuvaavat tasaisessa liikkeessä olevia kappaleita. Määritä kappaleen paikka alussa x₀ ja nopeus v.

a) y = -30x+10

b) y = 500x-250

a) k=v=-30, x₀=10

b) k=v=500, x₀=-250

T14. Määritä seuraavista t,x-kuvaajista kappaleen paikka alussa x₀ ja kappaleen nopeus v.

a) x₀=14 m, v=-0,67 m/s

b) x₀=2 m, v=0,875 m/s

T15. Elsa ja Anna lähtevät kumpikin ajamaan mummolaan. Anna lähtee Helsingistä, josta matkaa mummolaan on 500 kilometriä. Elsa lähtee liikkeelle samalla hetkellä, saman reitin varrelta, mutta 100 kilometriä lähempää mummolaa. Piirrä samaan t,x -koordinaatistoon kuvaaja molempien liikkeestä, kun oletetaan, että Elsa ajaa koko ajan nopeudella 75 km/h ja Anna nopeudella 100 km/h. Määritä kuvaajien avulla, milloin Anna saa Elsan kiinni.

Kuvasta nähdään, että Anna saa Elsan kiinni 4 tunnin kuluttua, kun mummolaan on jäljellä 100 km.

T16. Maratoonarin paikasta eri ajankohtina saatiin seuraavat mittaustulokset.

a) Sijoita mitatut pisteet t,x -koordinaatistoon ja määritä graafisesti maratoonarin keskinopeus mitatulla aikavälillä.

b) Missä ajassa maratoonari on maalissa (42,195 km), jos hän jatkaa samaa vauhtia koko matkan?

a) 15 km/h

b) Maalissa ajassa 168 min=2 h 48 min

T17. Tennispallo lähestyy pelaajaa nopeudella 30 m/s. Pelaaja lyö palloa, jonka aikana pallo on kosketuksissa mailaan 5 millisekunnin ajan. Laske pallon kiihtyvyys kosketuksen aikana, kun pallon nopeus lyönnin jälkeen on vastakkaiseen suuntaan 25 m/s.

a) -11000 m/s2

T18. Auto jarruttaa nopeudesta 72 km/h pysähdyksiin 6,0 sekunnissa.

a) Kuinka suuri kiihtyvyys autolla oli jarrutuksen aikana?

b) Kuinka suuri jarrutusmatka autolla oli?

a) -3,3 m/s2

b) 60 m

T19. Seuraava kuvaaja esittää raitiovaunun vauhdin muutoksia yhdellä pysäkinvälillä.

a) Määritä raitiovaunun matkanopeus kilometreinä tunnissa.

b) Määritä raitiovaunun kiihtyvyys sen lähtiessä pysäkiltä.

c) Määritä pysäkinvälin pituus kuvaajan avulla.

a) 36 km/h

b) 0,67 m/s2

c) 775 m

T20. Kaksi autoa A ja B ajaa maantiellä peräkkäin nopeudella 80 km/h. Auto B lähtee ohittamaan autoa A kiihdyttäen tasaisesti kiihtyvyydellä a = 2,8 m/s2. B jatkaa matkaa tasaisella nopeudella.

a) Kuinka kauan ohituksessa kestää, kun B lähtee 20 metriä A:n takaa ja palaa kaistalle ohituksen jälkeen 20 metriä A:n edelle? Autojen pituuksia ei tarvitse huomioida.

b) Kuinka pitkän matkan B ajoi ohituksen aikana?

a) 5,3 s

b) 120 m

T21. Kivi heitetään parvekkeelta suoraan ylöspäin alkunopeudella v₀ =10 m/s. Pallo käy ylhäällä liikeradan lakipisteessä ja putoaa maahan, joka on 10 m parvekkeen alapuolella.

a) Kuinka kauan kivellä kestää päästä lakipisteeseen?

b) Kuinka korkealle maasta kivi lentää?

c) Kuinka kauan kestää kiven putoamisessa lakipisteestä maahan?

d) Piirrä liikkeen t,v -kuvaaja lähtöhetkestä hetkeen juuri ennen maahantörmäystä.

a) 1,0 s

b) 15 m

c) 1,8 s

T22. Tykillä ammutaan ammus, jonka lähtökulma on 40 astetta ja lähtönopeus 900 m/s.

a) Laske sopivalla trigonometrisella funktiolla nopeuden vaakasuuntainen nopeus vx ja pystysuuntainen nopeus vy kuvan suorakulmaisesta kolmiosta.

b) Laske ammuksen lentoaika pystysuuntaisesta liikkeestä, kun ilmanvastusta ei oteta huomioon.

c) Laske, kuinka pitkälle ammus lentää vaakasuunnassa, kun maan kaarevuutta tai pinnanmuotoja ei oteta huomioon.

a) vx = 689 m/s, vy = 450 m/s

b) 91,7 s

c) 63 km

T23. Kappaleen nopeus muuttuu ajan t funktiona funktion f(t)=3sin(t) mukaisesti. Nopeuden yksikkö on m/s. Määritä piirto-ohjelman avulla

a) kappaleen kulkema matka aikavälillä 0 s...5 s.

b) kappaleen paikka ajanhetkellä t=5 s, kun ajanhetkellä t=0 paikka x0=0 m.

c) milloin kappaleella on suurin kiihtyvyys ja kuinka suuri se on.

Vihje: Kappaleen suunta muuttuu ajassa t=π. GeoGebrassa pinta-alan saa laskettua syöttökentän komennolla Integraali... ja käyrän tangentin kulmakertoimen saa Tangentti-työkalulla.

a) 9,85 m

b) 2,15 m

c) Pisteissä 0 ja π, Suuruus a=±3