Kaasujen tilanyhtälöt

Tutkitaan näitä riippuvuuksia tarkemmin rakentamalla yksinkertainen tilanyhtälö kaasun lämpötilan, tilavuuden, paineen ja ainemäärän välille.

Kaasun ainemäärä kertoo kuinka paljon rakenneosasia systeemissä on. Ainemäärän symboli on n ja sen yksikkö on mooli (mol). Kyseessä on kappalemäärä, yhdessä moolissa on Avogadron vakion NA verran rakenneosasia. Tämän vakion tarkka arvo on

Jos aineen ainemäärä on tiedossa, sen avulla voi selvittää aineen massan silloin, kun aineen rakenneosasten keskimääräinen massa on tiedossa. Esimerkiksi eri alkuaineiden keskimääräiset massat, eli niiden moolimassat, on annettu alkuaineiden jaksollisessa järjestelmässä. Moolimassan symboli on M ja sen yksikkö on g/mol . Massan, moolimassan ja ainemäärän välillä on voimassa yhtälö

m = nM

Yhdessä happimolekyylissä on kaksi happiatomia, joten sen moolimassa on kaksinkertainen. Hapen kokonaismassaksi saadaan siten

Vastaus: Hapen massa on noin 80 grammaa.

Reaalikaasuilla tilanne on monimutkainen, sillä kaasun tilavuus ei riipu muista tilasuureista lineaarisesti. Esimerkiksi, vaikka kaasua puristaa kuinka kovalla paineella tahansa, sen tilavuus ei koskaan voi mennä nollaan, sillä kaasun molekyylit tarvitsevat aina jonkin verran tilaa. Samoin molekyylien väliset vuorovaikutukset voimistuvat sitä mukaa, mitä lähemmäs toisiaan ne tuodaan. Painetta lisättäessä kaasu jossain vaiheessa tiivistyy nesteeksi tai härmistyy kiinteäksi aineeksi.

Kaasuja voi kuitenkin usein kuvata niin kutsutulla ideaalikaasumallilla, joka yksinkertaistaa tilannetta. Ideaalikaasumallissa tehdään kaksi merkittävää yksinkertaistusta:

1. Kaasumolekyylit ovat pistemäisiä. Ne eivät siis vie tilaa eikä niillä ole sisäistä rakennetta.

2. Molekyylit vuorovaikuttavat vain törmäyksissä. Ne eivät siis esimerkiksi muodosta molekyylien välisiä sidoksia.

Yksinkertaistukset ovat huomattavia, mutta koska molekyylit ovat oikeastikin pieniä kaasun tilavuuteen verrattuna ja ne vuorovaikuttavat keskenään heikosti, malli toimii suhteellisen hyvin. Kokeellisesti on todennettu, että ideaalikaasumalli onnistuu kuvaamaan monia reaalikaasuja hyvällä tarkkuudella erilaisissa olosuhteissa.

Ideaalikaasulle on johdettavissa tilastollinen malli, joka ennustaa miten kaasun tilavuus riippuu sen paineesta ja lämpötilasta. Mallin oletuksiin kuuluu edellä mainittujen lisäksi, että molekyylien liikkeet ovat täysin satunnaisia ja kaikki molekyylien väliset törmäykset ovat täysin kimmoisia, eli sellaisia, joissa liike-energia ei vähene. Mallista seuraa ideaalikaasun tilanyhtälö

pV = nRT,

missä R on niin kutsuttu moolinen kaasuvakio, jonka suuruus on noin

Ratkaistaan yhtälöstä tilavuus:

Tästä nähdään, että kaasun tilavuus on suoraan verrannollinen ainemäärään ja lämpötilaan, ja kääntäen verrannollinen paineeseen. Tulos vaikuttaa järkevältä sen valossa, että kaasu laajenee lämmetessään ja puristuu kasaan, kun ulkoista painetta kasvatetaan.

Reaalikaasuille on olemassa toinen toistaan monimutkaisempia tilanyhtälöitä, jotka ottavat huomioon molekyylien koon ja keskinäiset vuorovaikutukset, mutta lukiofysiikan ongelmissa voidaan aina käyttää ideaalikaasumallia, jos tehtävässä ei toisin mainita.

Useimmissa tilanteissa kaasun ainemäärä pysyy vakiona ja halutaan tietää miten joku muista suureista muuttuu eri olosuhteissa. Tällöin yllä olevasta yhtälöstä seuraa, että

ja kahdessa eri tilanteessa on silloin voimassa

Tämän lain erikoistapauksia ovat tilanteet, jossa jokin kolmesta tilamuuttujasta pysyy vakiona ja vain kaksi muuta muuttuvat, kuten seuraavassa esimerkissä.

Tästä voidaan ratkaista paine jälkimmäisessä tilanteessa. (Lämpötilat täytyy muuttaa kelvin-asteiksi, jotta niiden suhde tulee oikein.)

Vastaus: Paine kasvaa noin 1,3 baariin.

Esimerkissä tarkasteltua tilannetta, jossa ideaalikaasun tilavuus ei muutu (V1 = V2), voidaan siis kuvata yhtälöllä:

Tätä kutsutaan löytäjänsä mukaan Gay-Lussacin laiksi. Huomaa kuitenkin kuinka se on vain erikoistapaus ideaalikaasun tilanyhtälöstä, eikä sitä siksi välttämättä tarvitse opetella muistamaan erikseen.

Samanlainen yhtälöt saadaan tietenkin myös vakiolämpötilassa (T1 = T2):

Tätä kutsutaan Boylen laiksi.

Vakiopaineessa (p1 = p2) puolestaan on voimassa Charlesin laki:

Kaasujen normaaliolosuhteet

Kaasujen ominaisuudet riippuvat merkittävästi kaasun paineesta ja lämpötilasta. Esimerkiksi taulukkokirjoissa ilmoitetut arvot vaikkapa kaasun tiheydelle annetaan usein joko niin kutsutuissa standardiolosuhteissa (STP-olosuhteissa):

T = 0º C

p = 100000 Pa = 1 bar

tai laboratoriotöihin paremmin soveltuvissa NTP-olosuhteissa:

T = 20ºC

p = 101325 Pa = 1 atm

Taulukkoarvoja voi yleensä käyttää sellaisenaan, jos olosuhteita ja tarvittavia suureiden arvoja ei ole tarkemmin tiedossa, mutta käytetyt olosuhteet kannattaa kuitenkin aina mainita.

Esimerkiksi ideaalikaasun moolinen tilavuus (eli kuinka montaa litraa vastaa yksi mooli kaasua, symboli Vm) näissä olosuhteissa on:

Kuten näet, ero tilavuuksissa on pieni, mutta kuitenkin huomattava.

Mitatun tilavuuden avulla voidaan laskea, kuinka monta litraa yksi mooli heliumia veisi:

Verrataan tätä ideaalikaasun mooliseen tilavuuteen laskemalla esimerkiksi kuinka monta prosenttia suurempi reaalikaasun moolinen tilavuus on:

Vastaus: heliumkaasun moolinen tilavuus on noin 6,1% suurempi kuin ideaalikaasun tilavuus, eli ideaalikaasumallin voi olettaa kuvaavan heliumia suhteellisen hyvin.