Embedded Files
LOPS21 MATERIAALEIHIN TÄSTÄ:
Mekaaninen energia on erittäin hyödyllinen suure, mutta on monia mekaniikan ilmiöitä, joita se ei riitä kuvaamaan. Kuvittele esimerkiksi pallo, joka tulee sinua kohti tietyllä nopeudella. Isket sitä mailalla, jonka jälkeen se kulkee vastakkaiseen suuntaan yhtä suurella nopeudella kuin mikä sillä oli alussa. Mitä on tapahtunut pallon liike-energialle? Ei mitään, sillä liike-energia välittää vain nopeuden suuruudesta, ei sen suunnasta. Tällöin et ole myöskään tehnyt työtä. Jotain on kuitenkin tapahtunut, joten tarvitsemme tavan kuvata liikkeen suunnan muuttumista.
Impulssi
Vakiovoiman tekemä työ on voiman ja vaikutusmatkan tulo. Jos voima ei ole vakio, tarvitaan graafista integrointia. Tehty työ muuttaa systeemin energiaa. Impulssi on työn kaltainen suure, jonka voima tekee. Vakiovoiman impulssi on voiman ja vaikutusajan tulo
Voima on hetkellinen suure, eli se voi olla joka hetki erilainen. Impulssia kannattaa ajatella voiman kertymänä ajan yli. Jos esimerkiksi haluat tuupata jonkin kappaleen liikkeelle, voit tehdä sen kovalla ja lyhyellä tönäisyllä tai hennommalla pitkällä töytäisyllä.
Jos voima muuttuu, tarvitaan jälleen graafista integrointia. Aivan kuten työ on voiman matkaintegraali, impulssi on voiman aikaintegraali. Usein voidaan käyttää arviota keskimääräisestä vaikuttavasta voimasta, joka toimii vakiovoiman tavoin: impulssi on keskimääräisen voiman ja vaikutusajan tulo.
Huomaa, että toisin kuin liike-energia, impulssi on vektorisuure, eli sillä on suuruuden lisäksi myös suunta. Impulssista nähdään siis myös kappaleen liikkeen suunnanmuutokset, joita ei voi päätellä liike-energian muutoksista. Esimerkiksi liikkeen suuntainen impulssi kasvattaa kappaleen nopeutta ja liikkeen suunnalle vastakkainen impulssi pienentää nopeutta (ja voi kääntää sen vastakkaiseen suuntaan).
Impulssi saadaan voiman aikaintegraalina.
Liikemäärä
Kun kappaleeseen tehdään työtä, se saa liike-energiaa. Kun kappaleeseen kohdistetaan impulssi, se saa liikemäärää. Impulssilla on sama yksikkö, joskin se kirjoitetaan yleensä muodossa Ns, jotta olisi selvää, että puhutaan nimenomaan impulssista eikä liikemäärästä.
Liikemäärä on vektori, joka lasketaan yksinkertaisesti massan ja nopeuden tulona
Liikemäärä osoittaa samaan suuntaan kuin kappaleen nopeus, ja se on sitä suurempi, mitä suurempi kappaleen massa on.
Symboli
Yksikkö
Kun otetaan huomioon, että liikemäärän neliölle pätee
voidaan liike-energian lauseke kirjoittaa liikemäärän suuruuden avulla:
Tämä on monessa laskussa hyödyllinen suhde näiden kahden suureen välillä.
Impulssiperiaate
Kappaleeseen kohdistuvasta impulssista seuraa yhtä suuri liikemäärän muutos
Vertaa tätä työ-energiaperiaatteen yhtälöön ∆E = W
Esimerkki: Pallo tulee sinua kohti 10 m/s nopeudella. Lyöt sitä mailalla, joka kohdistaa palloon keskimäärin 500 N voiman 0,010 sekunnin ajan. Mikä on pallon loppunopeus, kun sen massa on 90 grammaa?
Ratkaisu: Pallon liikemäärä muuttuu lyönnin impulssin verran. Liikemäärä muuttuu lyönnin suuntaan eli vastakkaiseen suuntaan kuin alkuperäinen liike. Lasketaan liikemäärän muutoksen suuruus:
Liikemäärän muutos näkyy nopeuden muutoksena, joka voidaan nyt laskea:
Nopeuden muutoksen avulla saadaan loppunopeus 46 m/s .
Vastaus: Pallon loppunopeus on 46 m/s pallon tulosuuntaan.
Liikemäärän säilymislaki
Liikemäärä, kuten energia, säilyy kaikissa prosesseissa. Tämä on havaintoihin perustuva luonnonlaki, jolle löytyy myös vankat perustelut teorian tasolla. Pitää olla tarkkana, mitä liikemäärän säilymisellä tarkoitetaan. Esimerkiksi palloa lyötäessä pallon liikemäärä tietenkin muuttuu, mutta koko systeemin (lyöjä+maila+pallo) liikemäärä säilyy. Yhtälöinä voimme kirjoittaa kahtena ajanhetkenä t1 ja t2:
Toisin sanoen, liikemäärä on säilynyt aina kun sen säilymistä on mitattu. Jos tulisi vastaan mittauksia, joissa liikemäärä ei säily, lakia pitäisi muuttaa. Liikemäärän säilymislaki, kuten muutkaan ”fysiikan lait,” eivät ole kiveen hakattu.
Jälkimmäinen yhtälö korostaa sitä, että kokonaisliikemäärä säilyy, eli meidän tulee ottaa huomioon kaikkien prosessissa mukana olevien kappaleiden liikemäärät. Esimerkiksi törmäyksissä saattaa käydä niin, että ennen törmäystä ja sen jälkeen kappaleita on eri määrä, jolloin summattavia liikemääriäkin on eri määrä.
Liikemäärän säilymislaissa on tärkeä ero energian säilymislakiin verrattuna. Liikemäärä on vektori ja niin on myös koko systeemin yhteenlaskettu liikemäärä. Vektorilla on kolme komponenttia, yksi jokaiseen koordinaattisuuntaan (x,y,z) ja nämä kolme komponenttia säilyvät erikseen. Jos näin ei olisi, vektorihan muuttuisi. Laskuissa näitä komponentteja kannattaa usein tarkastella erikseen. Jos esimerkiksi x-suuntaan ei ole alussa liikemäärää lainkaan, ei sitä ole lopussakaan. Energian säilymislaista saa yhden yhtälön:
E(t1) = E(t2)
liikemäärän säilymislaista saa yhden jokaiselle vektorikomponentille:
Liikemäärän säilymislaissa ei myöskään ole samanlaista sekaannuksen vaaraa kuin energian säilymislaissa. Liikemäärä on vain yhtä tyyppiä, joten liikemäärä säilyy aina. Niin säilyy toki energiakin, mutta esimerkiksi mekaaninen energia ei säily, sillä sitä voi muuntua sisäenergiaksi.
Kuvittele esimerkiksi kahden auton nokkakolari, jonka jälkeen autot tarrautuvat toisiinsa kiinni ja jäävät törmäyspaikalle paikalleen. Kummallakin autolla on alussa suuri määrä liike-energiaa, mutta lopussa sitä ei ole ollenkaan. Mekaaninen energia ei ole säilynyt.
Autoilla on alussa myös liikemäärää, jota kummallakaan ei ole lopussa. Huomaa kuitenkin, että liikemäärävektorit osoittivat aluksi vastakkaisiin suuntiin, jolloin kokonaisliikemäärä voi olla nolla, jos liikemäärät alussa olivat yhtä suuret. Kokonaisliikemäärä on säilynyt.
Törmäykset ja hajoamiset
Kokonaisliikemäärä ja kokonaisenergia säilyvät kaikissa prosesseissa. Esimerkiksi liike-energia tai mekaaninen energia eivät aina säily. Kappaleiden törmäykset jaetaan kahteen luokkaan
• Kimmoisat törmäykset: mekaaninen energia säilyy.
• Kimmottomat törmäykset: mekaaninen energia ei säily.
Usein kimmoisissa törmäyksissä on lisäksi tilanne, jossa kappaleiden potentiaalienergiat eivät muutu. Silloin myös liike-energia säilyy. Koska kimmoisissa törmäyksissä mekaaninen energia säilyy, niin säilyy myös sisäenergia. Lämpötila ja esimerkiksi kappaleiden muoto siis säilyy kimmoisissa törmäyksissä, mutta ne eivät säily kimmottomissa törmäyksissä.
Esimerkki: Ovatko seuraavat törmäykset kimmoisia vai kimmottomia?
a) Kahden biljardipallon törmäys, jossa kummankaan nopeuden suuruus ei muutu.
b) Maljakko putoaa lattialle ja rikkoutuu.
c) Auto törmää jalankulkijaan.
Ratkaisu:
a) Kummankaan biljardipallon nopeus ei muutu, joten niiden liikeenergia säilyvät. Törmäys on kimmoisa.
b) Maljakon nopeus pysähtyy, joten mekaaninen energia ei säily ja törmäys on kimmoton. Myös maljakon muoto muuttuu.
c) Auton liike hidastuu törmäyksessä ja sen muoto muuttuu, törmäys on kimmoton.
Esimerkki: Henkilöauto, jonka massa on 1400 kg törmää rekkaan, jonka massa on 21000 kg. Ennen törmäystä autot kulkevat vastakkaisiin suuntiin kumpikin vauhdilla 60 km h ja tarrautuvat törmäyksessä toisiinsa. Määritä yhteentarrautuneiden autojen loppunopeus.
Ratkaisu: Törmäys on täysin kimmoton, joten mekaaninen energia ei säily, mutta liikemäärä säilyy. Autot kulkevat ennen törmäystä vastakkaisiin suuntiin, joten niiden yhteisen liikemäärän suuruus saadaan erotuksena:
Liikemäärä säilyy, joten tämä on myös lopussa yhdistelmän liikemäärä. Massa lopussa on autojen yhteenlaskettu massa, joten nopeus törmäyksen jälkeen saadaan laskettua yhtälöstä:
Vastaus: Rekka ja henkilöauto jatkavat rekan kulkusuuntaan nopeudella 53 km/h .
Esimerkki: Kaksi asteroidia A ja B törmää toisiinsa. Törmäyksessä B hajoaa siten, että siitä irtoaa osa C ja loput jää kiinni A:han. B:n kulkusuunta ennen törmäystä muodostaa 150 asteen kulman A:n radan kanssa, kuvan mukaisesti.
Törmäyksen jälkeen A jatkaa matkaansa alkuperäiseen suuntaan ja C:n rata on sitä vastaan kohtisuorassa. Asteroidien massat ovat noin mA = 1, 5 · 1016 kg, mB = 6, 0 · 1015 kg ja mC = 2, 2 · 1015 kg.
Nopeuksien suuruudet ennen törmäystä ovat vA = 980 ms ja vB = 1400 ms . Määritä asteroidien A ja C nopeudet törmäyksen jälkeen.
Ratkaisu: Törmäys on kimmoton, joten käytetään hyväksi kokonaisliikemäärän säilymistä. Jotta liikemääriä on helpompi vertailla, jaetaan B:n liikemäärä pB kahteen komponenttiin, joista toinen on A:n radan suuntainen pxB ja toinen tätä vastaan kohtisuorassa pyB.
Niiden suuruudet saadaan trigonometristen funktioiden avulla:
Asteroidit ennen ja jälkeen törmäyksen.
Tässä kaavakuvassa asteroidien liikemäärävektorien suuruudet eivät ole oikeissa suhteissa.
Ennen törmäystä liikemäärä on kolmen vektorin summa:
Näistä vektoreista ensimmäiset kaksi ovat samalla suoralla ja viimeinen niitä vastaan kohtisuorassa. Koska kokonaisliikemäärävektori on sama ennen ja jälkeen törmäyksen, sen kohtisuorat komponentit säilyvät erikseen.
Törmäyksen jälkeen y-suuntaista liikemäärää on vain asteroidilla C, joten sen liikemäärän täytyy olla samansuuruinen kuin pyB . Tästä voidaan ratkaista C:n nopeus:
Vielä tarvitaan A:n nopeus törmäyksen jälkeen. Silloin x-suuntaista liikemäärä on vain A:lla, joten sen liikemäärän suuruus törmäyksen jälkeen pA2 on sama kuin x-suuntaisten liikemäärien erotus ennen törmäystä
Nyt täytyy vielä huomata, että A:lla on eri massa ennen ja jälkeen törmäyksen, sillä A:han on tarttunut osa B:stä.
Supistetaan tekijällä 1015, jolloin lasku helpottuu:
Vastaus: A:n nopeus törmäyksen jälkeen on noin 390 m/s alkuperäiseen kulkusuuntaan ja C:n nopeus on noin 1900 m/s tätä vastaan kohtisuorasti.
Esimerkki: Hiukkanen hajoaa kahteen osaan, joista toinen on kaksi kertaa toista raskaampi. Missä suhteessa liike-energia jakaantuu hajoamistuotteiden kesken?
Ratkaisu: Hajoamisessa säilyy kokonaisliikemäärä, joka on nolla, sillä hajoava hiukkanen on paikallaan. Hajoamistuotteet lähtevät silloin vastakkaisiin suuntiin ja niiden liikemäärät ovat yhtä suuret ja vastakkaissuuntaiset. Kutsutaan hajoamistuotteita nimillä A ja B ja sovitaan, että A:n massa on kaksi kertaa B:n massa. Kirjoitetaan A:n ja B:n liike-energiat liikemäärien avulla.:
Koska liikemäärät ovat yhtä suuret, on liike-energioita helppo vertailla (kunhan muistaa miten murtoluvulla jaetaan):
Liike-energia jakautuu siis kääntäen verrannollisesti massoihin nähden, tässä tapauksessa A:ta puolet kevyempi hajoamistuote B saa kaksinkertaisen liike-energian:
Vastaus: Kevyempi hajoamistuotteista saa kaksi kertaa niin suuren liike-energian kuin painavampi
Tämä on yleinen tulos, kun kappale tai hiukkanen hajoaa kahteen osaan: kevyempi saa enemmän liike-energiaa.
Tehtävät
Tehtävät
Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen.
T1. Pallo pudotetaan 2,0 metrin korkeudelta ja se pomppaa lattiasta likipitäen samalla nopeudella kuin siihen osuessaan. Laske kuinka suuren impulssin lattia palloon kohdisti. Pallon massa on 100 g.
Vastaus: 1,3 Ns
T2. Pallo pudotetaan 2,0 metrin korkeudelta ja se pomppaa lattiasta nousten 1,5 metrin korkeuteen. Laske kuinka suuren impulssin lattia palloon kohdisti. Pallon massa on 100 g.
Vastaus: 1,2 Ns
T3. Auto, jonka massa oli 1200 kg ja nopeus 70 km/h ajoi nokkakolarin auton kanssa, jonka massa oli 1000 kg. Kolarissa autot pysähtyivät aloilleen jääden kiinni toisiinsa. Kuinka suuri oli toisen auton nopeus?
Vastaus: 84 km/h
T4. Auto, jonka massa oli 1200 kg ja nopeus 70 km/h ajoi nokkakolarin auton kanssa, jonka massa oli 1000 kg sekä nopeus 80 km/h. Kolarissa autot jäivät kiinni toisiinsa. Millä nopeudella autot liikkuivat kolarin jälkeen? Mihin suuntaan autot liikkuivat?
Vastaus: 1,8 km/h ensimmäisen auton menosuuntaan kohti.
T5. Narun päässä roikkuu pallo, jonka massa on 5,0 kg. Palloon ammutaan luoti, jonka massa on 15 g ja luoti jää pallon sisälle. Pallo sekä luoti nousevat 33 mm korkeudelle. Mikä oli luodin nopeus ennen törmäystä?
Vastaus: 270 m/s
T6. Klaus-Heidi suoritti vallankaappausta. Hän löysi limaklöntin, jonka massa oli 5,0 kg. Hetkessä kuningas Mättönen roikkui ylösalaisin köydessä ja Klaus-Heidi heitti häntä limaklöntillä. Klöntillä oli nopeutta 150 m/s ennen kuin se osui ja jäi kiinni kuninkaaseen. Kuningas heilahti köyden varassa hieman ylöspäin. Kuinka korkealle kuningas heilahti, kun hänen massansa oli 185 kg?
Vastaus: 79 cm
T7. Kuinka suurella nopeudella herkkäliikkeinen vaunu alkaa liikkua, jos sen päällä kävelee henkilö, jonka massa on 60 kg ja nopeus 1,0 m/s? Vaunun massa on 80 kg.
Vastaus: 0,75 m/s
T8. Poika juoksee 2,0 m/s ja hyppää rullalaudan päälle, jolloin poika ja lauta lähtevät liikkeelle ja näiden nopeus on 1,5 m/s. Laudan massa on 3,0 kg. Kuinka suuri pojan massa on?
Vastaus: 9,0 kg
T9. Auto, jonka massa on 900 kg ja nopeus 50 km/h törmää pysähtyneeseen pakettiautoon ja jää kiinni tähän. Mikä tulisi olla pakettiauton massa, jotta autojen nopeus törmäyksen jälkeen olisi alle 1,0 m/s?
Vastaus: Yli 11 600 kg
T10. Animaatioelokuvassa ufomies, jonka massa on 1,5kg, seisoo järven liukkaalla jäällä ja havaitsee juomapullon liukuvan häntä kohti lännestä nopeudella 3,5m/s. Mies ottaa pullon kiinni, juo sisällön (330g) ja heittää tyhjän pullon (200g) pois siten että sen nopeus jään suhteen on 3.0m/s etelään. Mihin suuntaan ja millä nopeudella ufomiehen pitäisi fysiikan lakien mukaan liukua kaiken tämän jälkeen? (Yo K2000, T11)
Vastaus: 1,1 m/s suunta noin 18⁰ idästä pohjoiseen päin.
Page updated
Google Sites
Report abuse