Tarvittavat matemaattiset taidot

Asteet ja radiaanit

Kulmien mittaaminen ja niiden matemaattinen käsittely on erityisen tärkeää, kun puhumme pyörimisliikkeestä ja ympyräliikkeestä. Olet epäilemättä tottunut käyttämään asteita kulmien mittauksessa, mutta fysiikassa on yleisesti käytössä myös toinen kulmayksikkö: radiaani. Radiaanit ovat monessa tilanteessa yksinkertaisempia käyttää, kunhan niihin ensin tottuu.


Muunnoskaavat asteista radiaaneihin ja takaisin on helppo muistaa yksinkertaisen muistisäännön avulla. Jos otamme kokonaisen ympyrän täyskulman, on sen suuruus 360 astetta. Radiaaneissa saman kulman suuruus on 2π. Asteiden ja radiaanien välillä on siis aina voimassa suhde

Supistamalla saadaan

Näitä voi suoraan käyttää muunnoskaavoina, sillä mitä tahansa suuretta voidaan aina kertoa ykkösellä muuttamatta sen suuruutta - kokeillaan parilla esimerkillä:

Toiseen suuntaan mentäessä pitää valita vastakkainen muunnoskaava

Radiaanien käytännöllisyys tulee siitä, että ympyrän, jonka säde on yksi, kehän pituus on 2π. Kehän pituus on siis sama kuin ympyrän keskuskulman suuruus. Samoin saadaan mitä tahansa kulmaa vastaavan ympyrän kaaren pituus, sillä radiaaneissa mitattuna kulma ja kaaren pituus ovat aina yhtä suuret.

Radiaaneissa mitattu kulma on samansuuruinen kuin sitä vastaava yksikköympyrän kaaren pituus.

Radiaanit käsitellään pitkän matematiikan kurssilla 7 - Klikkaa tästä kurssimateriaaliin

Eksponenttifunktiot ja logaritmit

Luonnossa on paljon ilmiöitä, joissa jonkin suureen kasvunopeus riippuu sen määrästä. Jos esimerkiksi bakteerien määrä kaksinkertaistuu tietyssä ajassa, riippuu niiden määrän kasvunopeus kullakin hetkellä siitä kuinka paljon bakteereita on. Keskimääräinen kasvunopeus jollakin aikavälillä voidaan määrittää kuvaajasta katsomalla paljonko suure muuttuu (∆N) jossakin ajassa (∆t):

Jos taas halutaan kasvunopeus yhdellä hetkellä t₁ , kutistetaan aikaväli pieneksi ja katsotaan kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerrointa. Jos kuvaajaa vastaava funktio N(t) tunnetaan, kulmakertoimen antaa tämän funktion derivaatta:

Tilanteissa, joissa hetkellinen kasvunopeus riippuu suureen määrästä, voidaan kirjoittaa

missä a on jokin verrannollisuuskerroin, joka kertoo kuinka nopeasti muutos tapahtuu. Tämän funktion ratkaisu on eksponenttifunktio

Keskimääräinen muutosnopeus kahden pisteen välillä saadaan näiden pisteiden kautta piirretyn suoran kulmakertoimena.

Hetkellinen muutosnopeus saadaan kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakertoimena.

missä N₀ on suureen arvo hetkellä t = 0. Eksponenttifunktion kantalukuna on Neperin luku e ≈ 2, 71828, jonka määrittää juuri se ominaisuus, että tämän funktion derivaatta palauttaa saman funktion.

Monissa luonnon ilmiöissä tapahtuu siis eksponentiaalista kasvua tai eksponentiaalista vähenemistä. e-kantainen eksponenttifunktio on tästä syystä fysiikan malleissakin yksi useimmin esiintyvistä funktioista.

Usein haluamme ratkaista eksponenttina olevan tuntemattoman arvon, esimerkiksi äskeisestä yhtälöstä ajan t (”Kuinka pitkän ajan kuluttua lukumäärä saavuttaa arvon N?”). Tähän tarvitsemme eksponenttifunktion käänteisfunktiota, eli logaritmia.

Ratkaistaan esimerkin vuoksi äskeisestä yhtälöstä aika t. Tämän voi tehdä kahdella tavalla: joko käyttämällä logaritmin määritelmää, tai ottamalla yhtälöstä puolittain logaritmin ja käyttämällä logaritmin laskusääntöjä. Tehdään tällä kertaa näistä jälkimmäinen:

Logaritmi mahdollistaa eksponentissa olevan tuntemattoman ratkaisun. Joissakin tilanteissa kantaluku on joku muu kuin e, useimmiten joko 2 tai 10. Merkintä ln() on varattu e-kantaiselle luonnolliselle logaritmille. Kymmenkantaiselle logaritmille käytetään eri yhteyksissä merkintöjä

Ratkaistaan vielä esimerkin vuoksi yksi yhtälö käyttämällä viimeisintä merkintätapaa:

Voit tarkistaa, että tämä x:n arvo toteuttaa alkuperäisen eksponenttiyhtälön.

Logaritmia ja eksponenttifunktioita käsitellään muun muassa kursseilla MAY1 sekä MAA8

Tehtävät

Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen.

1. Muunna seuraavat kulmat radiaaneiksi.

a) 180º

b) 1135º

c) 27º

a) π (rad)

b) 3π/4 (rad)

c) 3π/20 (rad)

2. Muunna seuraavat kulmat asteiksi.

a) π/9 (rad)

b) 5π/6 (rad)

c) 3π/5 (rad)

a) 20º

b) 150º

c) 108º

3. Ratkaise seuraavasta yhtälöstä muuttuja x.

x=4

4. Ratkaise seuraavasta yhtälöstä muuttuja x.

x = 9^((a−1)/b)/15c