Gravitaatio

Gravitaatiovuorovaikutus on yksi luonnon neljästä perusvuorovaikutuksesta. Näistä neljästä gravitaation paikalliset vaikutukset ovat meille kenties tutuimmat: kappaleet putoavat. Fysiikan tutkimuksen kannalta gravitaatio on kuitenkin osoittautunut muita perusvuorovaikutuksia hankalammaksi tutkia, koska se on erittäin heikko verrattuna kolmeen muuhun perusvuorovaikutukseen. Painovoiman vaikutuksia osataan kyllä tutkia suurten kappaleiden välillä, mutta esimerkiksi protonin ja elektronin välinen gravitaatiovuorovaikutus on niin paljon heikompi kuin niiden välinen sähkömagneettinen vuorovaikutus, että sitä on lähes mahdotonta mitata.

Gravitaation alaisen liikkeen kuvailuun käytettiin aina 1900-luvun alkupuolelle asti yksinomaan Newtonin gravitaatioteoriaa, joka toimii monissa tilanteissa erittäin hyvin. Esimerkiksi Merkuriuksen radan ennustamisessa teoria kuitenkin epäonnistuu, joten tuohon aikaan etsittiin aktiivisesti parempaa gravitaatioteorian mallia. Einsteinin vuonna 1915 julkaisema yleinen suhteellisuusteoria korjasi esimerkiksi juuri Merkuriuksen radan ennustamiseen liittyvät ongelmat (ja monta muuta) ja on tällä hetkellä paras teoriamme gravitaation mallintamiseen.

Yleisessä suhteellisuusteoriassa gravitaatiota ei ajatella kappaleiden välisenä voimana, vaan kappaleiden välisen gravitaatiokentän kaareutumisena. Tiedät kokemuksesta, että kappaleet kulkevat kaarevilla pinnoilla erilaisia ratoja kuin suorilla pinnoilla ja esimerkiksi planeettojen radat suhteellisuusteoriassa ovatkin seurausta niitä ympäröivän avaruuden kaareutumisesta. Kaarevien pintojen geometriaan liittyvät laskut ovat hankalia ja yleisen suhteellisuusteorian ymmärtäminen vaatii muutenkin pitkäjänteistä paneutumista, joten lukiossa keskitymme Newtonin gravitaatioteorian käsittelyyn.

Newtonin gravitaatiolaki

Newtonin gravitaatiolaki kahden kappaleen (esimerkiksi Maa ja Kuu) väliselle voimalle on yksinkertainen. Ensinnäkin Newtonin III lain mukaisesti kumpaankin kappaleeseen vaikuttaa yhtä suuri ja vastakkaissuuntainen voima. Toiseksi kappaleiden gravitaatiovuorovaikutuksen aiheuttaa niiden massa, samaan tapaan kuin kappaleiden välisen sähköisen vuorovaikutuksen aiheuttaa niiden sähkövaraus. Kolmas elementti on sekin sama kuin sähköisessä vuorovaikutuksessa: voiman suuruus heikkenee etäisyyden kasvaessa ja riippuu sen toisesta potenssista.

Nämä tiedot yhdistämällä saadaan Newtonin gravitaatiolaki kahden pistemäisen kappaleen välisen gravitaatiovoiman suuruudelle

Eri lähteissä käytetään hieman eri symboleja, esimerkiksi voiman tunnus on usein G eikä F.

Gravitaatiovoiman suuruus on suoraan verrannollinen kappaleiden massaan ja kääntäen verrannollinen niiden välisen etäisyyden neliöön. Kokeellisesti määritetty verrannollisuuskerroin γ (merkitään usein myös symbolilla G) on nimeltään Newtonin gravitaatiovakio ja sen suuruus on noin

Gravitaatiovoiman suunta on aina kohti voiman aiheuttavan kappaleen keskipistettä.

Newtonin gravitaatiolakia on hyödyllistä verrata meille aiemmalta kurssilta tuttuun Coulombin lakiin muodossa:

Coulombin lain verrannollisuuskerroin

on 20 kertaluokkaa (10²⁰) suurempi kuin vastaava gravitaatiolain vakio, joka osaltaan kertoo vuorovaikutusten keskinäisistä voimakkuuksista.

Esimerkki: Laske Kuun Maahan kohdistavan gravitaatiovoiman suuruus taulukkokirjatietojen avulla.

Ratkaisu: Newtonin gravitaatiolakia käyttääksemme tarvitsemme Maan ja Kuun massat sekä niiden välisen etäisyyden (käytetään keskietäisyyttä).

Sijoittamalla arvot Newtonin gravitaatiolain laskukaavaan saadaan voiman suuruudeksi:

Vastaus: Kuun Maahan kohdistavan voiman suuruus on noin 2,0 · 10²⁰ N suuruinen. Tämä voima on muun muassa vuorovesi-ilmiön takana.

Arkielämän tilanteissa meitä useimmiten kiinnostaa miten gravitaatiovoima vaikuttaa kappaleisiin Maan pinnan tasolla. Jos katsomme Maan pinnalla olevaa kappaletta, jonka massa on m, voidaan siihen vaikuttavan gravitaatiovoiman suuruus kirjoittaa

missä M on Maan massa ja R Maan säde. Koska nämä ovat vakioita (käytetään esimerkiksi taulukkokirjasta löytyvää Maan ekvaattorisädettä) voidaan yhtälössä kolme vakiota yhdistää yhdeksi termiksi:

Näin saadaan Newtonin toisen lain mukainen lauseke, kun kappaleen kiihtyvyys on

Tätä kutsutaan kappaleen putoamiskiihtyvyydeksi ja sitä merkitään yleensä symbolilla g. Koska Maa ei ole täydellinen pallo, vaan navoiltaa litistynyt, on putoamiskiihtyvyyden arvo hieman suurempi navoilla kuin päiväntasaajalla (missä r on pienempi).

Laskemamme ennuste menee hitusen pieleen putoamiskiihtyvyyden päiväntasaajalla mitatusta arvosta

Voit laskea päiväntasaajalla olevan havaitsijan Maan pyörimiseen liittyvän normaalikiihtyvyyden ja verrata sitä tässä nähtävään eroon putoamiskiihtyvyyksissä.

Ero johtuu Maan pyörimisestä, mitä ei ole otettu huomioon yllä tehdyssä laskussa. Pyöriminen siis pienentää putoamiskiihtyvyyden arvoa hieman.

Putoamiskiihtyvyyden normaaliarvoksi on sovittu 45. leveyspiirillä mitattu

joka laskuissa pyöristetään useimmiten

Tämän putoamiskiihtyvyyden avulla Maan pinnan läheisyydessä gravitaatiovoiman voimakkuus voidaan kirjoittaa

G = mg

Muiden taivaankappaleiden pinnalla putoamiskiihtyvyydelle saadaan eri arvo, joka voidaan laskea, jos planeetan massa ja säde tunnetaan. Esimerkiksi sijoittamalla laskuun Kuun massa ja säde, saadaan putoamiskiihtyvyydeksi

Gravitaation aiheuttaman kiihtyvyyden voi tietenkin laskea myös missä tahansa muualla kuin taivaankappaleen pinnalla. Silloin pitää kuitenkin muistaa, että koska se riippuu kappaleiden välisestä etäisyydestä, se pysyy vakiona vain vakioetäisyydellä kiihtyvyyden aiheuttajasta. Maan pinnan läheisyydessä erot ovat niin pieniä, ettei niitä useimmiten tarvitse ottaa huomioon.

Putoamiskiihtyvyys korkeudella h maanpinnasta pienenee merkittävästi, kun korkeus on satoja tai tuhansia kilometrejä.

Esimerkki: Laske putoamiskiihtyvyys Marsin pinnalla.

Ratkaisu: Etsitään taulukkokirjasta Marsin massa ja säde

Näiden avulla putoamiskiihtyvyydeksi Marsin pinnalla saadaan

Vastaus: Putoamiskiihtyvyys Marsissa on noin 5,24 m/s²

Esimerkki: Oletetaan, että erilaisilla kiviplaneetoilla on suurin piirtein sama keskitiheys. Miten putoamiskiihtyvyyden suuruus riippuu planeetan koosta (eli sen säteestä)?

Ratkaisu: Putoamiskiihtyvyyden lauseke on

Kun R kasvaa, myös M kasvaa, joten emme osaa suoraan sanoa miten g:n arvo muuttuu. Meidän pitää ensin saada ainoaksi muuttujaksi R.

Kappaleen massa riippuu sen tiheydestä ja tilavuudesta. Oletetaan kappale tässä palloksi (planeetat ovat lähes palloja) ja käytetään pallon tilavuuden kaavaa

Sijoitetaan massan lauseke putoamiskiihtyvyyden lausekkeeseen:

Jos edessä olevat suureet pysyvät vakioina, putoamiskiihtyvyys kasvaa säteen mukana lineaarisesti.

Vastaus: Putoamiskiihtyvyys on suoraan verrannollinen säteen ensimmäiseen potenssiin (ja R > 0). Samalla nähdään, että putoamiskiihtyvyys on suoraan verrannollinen myös sen aiheuttajan tiheyteen (säteen pysyessä vakiona).

Gravitaatiokenttä

Sähköisen vuorovaikutuksen kohdalla puhuimme voiman lisäksi myös sähköisesti varatun kappaleen aiheuttamasta sähkökentästä. Sen avulla voi esimerkiksi arvioida sähköisen vaikutuksen voimakkuutta myös silloin, kun ei ole toista sellaista kappaletta, jonka voisi kokea sähköisen voiman. Varatun kappaleen tai pistevarauksen ulkopuolella sähkökentän voimakkuus Coulombin voiman ja kappaleen sähkövarauksen avulla on

Voimme tehdä saman tempun gravitaatiovuorovaikutukselle. Jokaisen massallisen kappaleen ulkopuolella on gravitaatiokenttä, jonka voimakkuus jokaisessa pisteessä on

Sijoittamalla tähän Newtonin gravitaatiolain lausekkeen näemme, että gravitaatiokentän voimakkuus on putoamiskiihtyvyys

Asiayhteydestä riippuen joskus puhutaan gravitaation kentän voimakkuudesta, joskus putoamiskiihtyvyydestä. Edellä laskimme siis esimerkiksi gravitaatiokentän voimakkuuden Maan, Kuun ja Marsin pinnalla.

Äskeinen tulos gravitaatiokentän voimakkuudelle pätee Newtonin teoriassa, yleisessä suhteellisuusteoriassa tilanne on erilainen. Yksi Einsteinin teorian suurista oivalluksista on, että myös gravitaatiokenttä voi vuorovaikuttaa kappaleiden kanssa, liikkua ja värähdellä. Newtonin teoriassa se on staattinen ja riippuu täysin gravitaatiokentän aiheuttavista kappaleista, Einsteinin teoriassa se on itsenäinen ja ”elävä”.

Yksi suhteellisuusteorian kokeellisesti varmennetuista ennusteista on gravitaatioaaltojen olemassaolo. Koska gravitaatiokenttä voi värähdellä ja toimia aaltojen ”väliaineena”, on lupa odottaa, että häiriöt gravitaatiokentässä voivat kulkea aaltoina paikasta toiseen aivan kuten veteen tiputetun kiven seurauksena kulkevat aallot. Gravitaatioaallon kulkiessa jonkin alueen läpi, se muuttaa pisteiden välisiä etäisyyksiä, venyttää niitä yhteen suuntaan ja kutistaa niitä kohtisuorassa suunnassa. Tällainen muutos voidaan havaita ilmaisimella, jossa on kaksi täsmälleen yhtä pitkää ”käsivartta” toisiinsa nähden kohtisuorassa. Ilmaisimen läpi kulkeva gravitaatioaalto venyttää yhtä käsivartta ja kutistaa toista - ero on minimaalisen pieni ja se onnistuttiin havaitsemaan ensimmäisen kerran vuonna 2015, sata vuotta Einsteinin teorian julkistuksen jälkeen.

Havaittavien gravitaatioaaltojen synty edellyttää äärimmäisen tapahtuman, jotta häiriö gravitaatiokentässä olisi riittävän suuri mitattavaksi. Tällaisia tapahtumia ovat esimerkiksi kahden mustan aukon törmäykset, jotka ovat erittäin harvinaisia. Tästä taas seuraa, että useimmat havaituista tapauksista ovat jopa miljardeja vuosia sitten tapahtuneista törmäyksistä, ajalta ennen maanpäällistä elämää.

Kahdesta kohtisuorasta ”käsivarresta” koostuvan mittalaitteen läpi kulkiessaan gravitaatioaalto venyttää käsivarren pituutta yhdessä suunnassa ja lyhentää sitä kohtisuorassa suunnassa. Suhteellinen muutos on minimaalisen pieni (toisin kuin tässä mallikuvassa), joten se on vaikea havaita.

Tehtävät

Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen.

11. Eräs avaruusalus kiertää Kuuta korkeudella 120 km Kuun pinnasta ennen kuin se laskeutuu Kuun kamarapinnalle. Minkä suuruinen gravitaatiovoima kohdistuu avaruusalukseen kyseisellä korkeudella, kun avaruusaluksen massa on 35 000 kg?

50,4 kN

12. Tiputetaan m-massainen pallo Kuun pinnalla. Laske kyseisen pallon putoamiskiihtyvyys.

1,64 m/s²

13. Kuinka suuri gravitaatiovoima vaikuttaa kahden taivaankappaleen kesken, kun toinen taivaankappale on massaltaan 8,923 · 10²⁹ kg ja toinen halkaisijaltaan 19,71 km sekä tiheydeltään 11, 03 · 10¹⁸ kg/m³ ? Kahden taivaankappaleen välinen etäisyys on 23 850 km.

1,1 · 10³⁸ N.

14. Tarkastellaan gravitaatiokentän vaikutusta kolmella eri etäisyydellä Maan keskipisteestä: Maan säteen, 3470 km ja 19 870 km etäisyydellä Maan keskipisteestä. Miten gravitaatiokentän voimakkuus muuttuu näissä kolmessa tapauksessa?

Katso malliratkaisut