Aaltoliike
Aaltoliikkeessä toisiinsa kytketyt värähtelijät välittävät energiaa paikasta toiseen. Värähtelijät eivät siirry aaltoliikkeen mukana, vaan värähtelevät tasapainoasemansa ympärillä. Värähtely voi olla vaikkapa yksittäisten hiukkasten liikettä, mutta myös esimerkiksi perusvuorovaikutuksia kuvaavat kentät voivat värähdellä.
Mekaanisella aaltoliikkeellä tarkoitetaan väliaineessa tapahtuvaa aaltoliikettä, siis sellaista, jossa aaltoliikkeen energia kulkee väliaineen rakenneosasten välityksellä. Esimerkiksi vedessä kulkevat aallot ovat mekaanista aaltoliikettä, samoin kuin ääni, joka on väliaineessa (tavallisesti ilmassa) kulkevaa aaltoliikettä. Katsomme ensin yleisiä mekaanisen aaltoliikkeen ominaisuuksia ja sen jälkeen äänen ominaisuuksia yhtenä ihmiselle tärkeänä esimerkkitapauksena.
Seuraavalla kurssilla käsitellään sähkömagneettista aaltoliikettä, jossa aallot kulkevat sähkömagneettisessa kentässä. Sähkömagneettiset aallot eivät siis tarvitse aineen rakenneosasia (kuten ilmamolekyylejä) edetäkseen, vaan ne voivat edetä myös tyhjiössä. Suurin osa mekaanisen aaltoliikkeen käsitteistä ja yhtälöistä pätevät myös sähkömagneettisille aalloille, mutta joitain eroavaisuuksiakin on.
Sähkömagneettinen kenttä ei ole väliaine, sillä se ei ole ainetta. Sillä on kuitenkin monia aineelle tyypillisiä ominaisuuksia, joten sitä voi usein käytännössä ajatella ”väliaineena”.
Aaltoliikeen eteneminen
Meille tutuin esimerkki aaltoliikkeestä lienevät veden aallot. Yksinkertaisin tapaus on silloin, kun tiputat veteen kiven, jolloin pinnan osumakohdasta lähtee ulospäin vaimeneva ympyränmallinen häiriö. Tällaista yksittäistä väliaineessa etenevää häiriötä kutsutaan pulssiksi. Jos liike on jatkuvaa ja jaksollista, puhutaan aalloista. Vesiaaltojen tapauksessa tuuli aikaansaa vesimolekyylien jatkuvan värähtelyn, joka näyttäytyy meille makroskooppisina aaltoina.
Mekaaninen aaltoliike etenee aina väliaineessa, joka koostuu diskreeteistä osasista, esimerkiksi atomeista tai vesimolekyyleistä. Hyödyllinen tapa ajatella aaltoliikettä ja siihen liittyviä ilmiöitä on ajatella näiden osasten värähtelyjä siten, että osaset on kytketty toisiinsa. Tällöin, jos yksi niistä alkaa värähdellä, se saa vieressään olevat osaset värähtelemään ja niin edelleen. Tämä näyttäytyy meille aaltona samalla tavoin kuin urheilukatsomossa kulkee ”aalto” silloin, kun ihmiset nousevat penkeistään seisomaan sopivasti jaksotettuna.
Aaltoliikkeen syntyyn tarvitaan aina värähtelijä. Tällä värähtelijällä on jaksonaika ja taajuus, jotka aaltoliike ”perii”. Oleellinen oivallus on huomata, että siinä ajassa, kun yksittäinen värähtelijä värähtää kerran (värähdysaika T), on tästä värähdyksestä lähtenyt häiriö edennyt yhtä pitkän ajan. Tässä ajassa on syntynyt yksi aalto, jonka aallonpituus on λ. Näiden avulla voidaan määrittää aallon etenemisnopeus v
Aallon etenemisnopeus on siis aallonpituuden ja taajuuden tulo. Tätä kutsutaan aaltoliikkeen perusyhtälöksi ja se kannattaa muistaa, sillä tarvitsemme sitä todella usein:
Voit testailla mekaanista aaltoliikettä simulaatiolla: https://phet.colorado.edu/en/simulation/wave-on-a-string
Aallonpituus ja amplitudi.
Aaltoliikkeen syntyyn tarvitaan aina värähtelijä. Tällä värähtelijällä Opetus-tv:n materiaaleista löytyy hyvä video aaltoliikkeen syntyyn liittyen https://opetus.tv/lukio-ops2016/fysiikka/fy5/aaltoliikkeen-synty-ja-aaltoliikkeen-perusyhtalo/.
Mekaanisen aaltoliikkeen synty edellyttää aina jonkin aaltolähteen, joka aikaansaa aaltoja. Esimerkiksi vesiastiassa edestakaisin liikkuva värähtelijä synnyttää astiaan vesiaaltoja. Aaltoliikkeen perusyhtälössäkin näkyvä aaltoliikkeen taajuus on sama kuin aaltolähteen taajuus. Se ei siis riipu siitä väliaineesta, jossa aallot kulkevat, vaan ainoastaan aaltolähteestä.
Aaltoliikkeen etenemisnopeus sen sijaan riippuu väliaineesta ja sen ominaisuuksista. Esimerkiksi ääni kulkee metalleissa paljon suuremmalla nopeudella kuin ilmassa ja langassa kulkeva pulssi kulkee sitä nopeammin, mitä kireämpi lanka on. Tämä tarkoittaa samalla, että myös aallonpituus riippuu väliaineesta. Esimerkiksi siirryttäessä väliaineesta toiseen aaltojen etenemisnopeus tyypillisesti muuttuu, ja koska niiden taajuus ei muutu, täytyy aallonpituuden muuttua, sillä aaltoliikkeen perusyhtälö on voimassa molemmissa väliaineissa. Tyypillinen tilanne aaltoliikkeen siirtyessä väliaineesta toiseen on siis
Esimerkki: Matti istuu ongella keskellä järveä ja tarkkailee ongen kohon liikkeitä. Hän mittaa veden aalloilla tapahtuvaan kymmeneen edestakaiseen kohon heilahdukseen kuluvan 18,4 s. Matti haluaa määrittää vesiaaltojen aallonpituuden, joten seuraavaksi hän kääntää 4,5 m pitkän soutuveneensä aaltojen etenemissuuntaan ja mittaa yhden aallon kulun kestoksi veneen keulasta sen perään 6,8 s. Mitä Matti saa aallonpituudeksi tällä mittausdatalla?
Ratkaisu: Aallonpituus saadaan selville, jos tunnetaan aaltojen taajuus ja etenemisnopeus. Taajuus saadaan värähdysajan käänteislukuna ja aallopituus aaltoliikkeen perusyhtälön avulla
Koska kohon kymmeneen värähdykseen kului 18,4 s, on jaksonaika T = 1,84 s. Aallon etenemisnopeus saadaan vertaamalla veneen pituutta ja aallon tähän matkaan käyttämää aikaa
Näiden avulla saadaan aallonpituudeksi
Vastaus: Vesiaaltojen aallonpituus on noin 1,2 m.
Aaltojen etenemisnopeus ja aallonpituus riippuvat aallot aiheuttavan aaltolähteen lisäksi väliaineesta ja sen ominaisuuksista. Katsotaan seuraavaksi mitä muuta väliaineesta toiseen siirryttäessä tapahtuu.
Aaltojen heijastuminen ja taittuminen aineiden rajapinnassa
Ajatellaan aluksi vesiaaltoja, jotka kulkevat uima-altaan yhdestä päästä toiseen tasaisina aaltorintamina. Uima-altaan yhdestä päästä lähtee koko uima-altaan leveydeltä aaltoja, jotka kulkevat altaan toiseen päähän. (Unohdetaan lisäksi hetkeksi mitä altaan toisessa päässä tapahtuu.)
Muokataan sitten allasta niin, että sen jälkimmäisellä puoliskolla on matalampaa vettä kuin sen ensimmäisellä puoliskolla. Nyt väliaine ei muutu altaan puolivälissä, mutta sen ominaisuudet muuttuvat (veden syvyys pienenee). Kuten voit testata kokeellisesti, matalammassa vedessä aaltojen etenemisnopeus hidastuu ja aallonpituus lyhenee. Aaltojen taajuus ei muutu, sillä taajuus riippuu vain aaltolähteen ominaisuuksista, ei siitä mitä aalloille lähdön jälkeen tapahtuu.
Kohtaa, jossa tullaan syvemmästä vedestä matalampaan voi kutsua (väli)aineiden rajapinnaksi. Niin siis tässäkin tapauksessa, jossa aine on samaa, mutta sen ominaisuudet aaltojen etenemisen kannalta muuttuvat. Kahta väliainetta voi verrata aaltojen etenemisnopeuden avulla:
Väliaine, jossa aalloilla on suurempi etenemisnopeus on aaltoopillisesti harvempi aine.
Väliaine, jossa aalloilla on pienempi etenemisnopeus on aaltoopillisesti tiheämpi aine.
Esimerkiksi matala vesi on aalto-opillisesti tiheämpää, vaikka väliaineiden tiheys onkin molemmissa tapauksissa sama, eli veden tiheys.
Kun aaltorintama saapuu kahden aineen rajapintaan, se voi heijastua takaisin ensimmäiseen väliaineeseen ja taittua jälkimmäiseen väliaineeseen. Usein tapahtuu sekä heijastumista, että taittumista, mutta joissain tilanteissa vain toista näistä. Heijastuneen aallon etenemisnopeus ja aallonpituus ovat samoja kuin rajapintaan saapuvan aallon, mutta taittuneessa aallossa ne ovat eri suuruiset.
Lisäksi aallon kulkusuunta voi muuttua. Jos aaltorintama saapuu sitä kohtisuorassa olevaan rajapintaan, heijastunut aalto kulkee vastakkaiseen suuntaan ja taittunut aalto samaan suuntaan kuin tuleva aalto. Jos taas aaltorintama osuu rajapintaan vinosti, saadaan heijastuneen ja taittuneen aaltorintaman kulkusuunnat heijastumislain ja taittumislain avulla.
Heijastumislaki ja taittumislaki on helpointa hahmottaa esimerkkikuvan avulla. Piirretään aineiden rajapintaan saapuva aaltorintama ja rajapintaa kohtisuorassa oleva pinnan normaali. Merkitään sekä tulevan että heijastuvan ja taittuvan aaltorintaman kulkusuuntaa nuolella ja katsotaan mikä kulma muodostuu tämän suunnan ja pinnan normaalin väliin.
Tulevan aaltorintaman kulkusuunnan ja normaalin välistä kulmaa kutsutaan tulokulmaksi, heijastuneen aaltorintaman kulkusuunnan ja normaalin välistä kulmaa heijastuskulmaksi ja taittuneen aaltorintaman kulkusuunnan ja normaalin välistä kulmaa taitekulmaksi. Näiden kulmien avulla kirjoitettuina saadaan heijastumislaki ja taittumislaki
Heijastumislaki: tulokulma ja heijastuskulma ovat yhtä suuret.
Taittumislaki: tulokulman ja taitekulman sinit ovat suoraan verrannolliset aaltorintamien etenemisnopeuksiin.
Nopeuksien suhdetta kutsutaan myös aineparin taitesuhteeksi, jota merkitään
Aaltorintamien saapuessa aineiden rajapintaan niiden kulkusuunta muuttuu. Myös etenemisnopeus ja aallonpituus muuttuvat, kuten kuvastakin näkyy.
Heijastunut aaltorintama poistuu kulmassa β pinnan normaaliin nähden. (Kuvassa ei näy heijastunutta aaltorintaa, vaan ainoastaan sen nopeusvektori v¯3.) Taittunut aaltorintama poistuu kulmassa α2 normaaliin nähden.
Useimmiten yksinkertaisinta on kääntää aineiden rajapinta vaakasuoraan. Aaltorintamat on tässä typistetty, usein ne jätetään kokonaan piirtämättä.
Lisäksi voimme kirjoittaa taittumislain aallonpituuksien avulla muistamalla, että aaltojen taajuus ei muutu väliaineesta toiseen siirryttäessä:
Kokoamalla nämä yhteen, voidaan kirjoittaa taittumislaille:
Esimerkki: Aaltorintama saapuu väliaineiden rajapintaan 50º tulokulmassa ja taitekulmaksi mitataan 35 astetta. Mikä oli aaltojen aallonpituus ensimmäisessä väliaineessa, kun jälkimmäisessä väliaineessa aallonpituudeksi mitataan 1,23 m?
Ratkaisu: Käytetään aaltojen taittumislakia muodossa
Tästä halutaan ratkaista ensimmäinen aallonpituus
Sijoittamalla arvot tehtävänannosta, saadaan aallonpituudeksi
Vastaus: Aallonpituus ensimmäisessä väliaineessa oli noin 1,6 m.
Aaltojen kokonaisheijastuminen
Jos aaltorintama saapuu aalto-opillisesti tiheämpään aineeseen, sen taitekulma on pienempi kuin sen tulokulma. Jos taas aaltorintama saapuu aalto-opillisesti harvempaan väliaineeseen, sen taitekulma on suurempi kuin sen tulokulma. Tällöin on mahdollista, että aaltorintama kokonaisheijastuu.
Taittumislain näkökulmasta kokonaisheijastumisen voi ajatella siten, että tulokulmaa kasvattamalla myös taitekulma kasvaa. Taitekulma ei kuitenkaan voi koskaan olla suurempi kuin 90 astetta, joten tietyllä tulokulman arvolla tulee raja vastaan. Tulokulmaa, jolla taitekulmaksi tulee 90 astetta, kutsutaan kokonaisheijastumisen rajakulmaksi. Sille pätee taittumislain mukaan
Kun tulokulma lähenee kokonaisheijastumisen rajakulman arvoa, taitekulma lähenee suoraa kulmaa. Tätä suuremmilla tulokulman arvoilla taittumista ei tapahdu lainkaan.
Jos tulokulma ylittää rajakulman arvon, aaltorintama kokonaisheijastuu. Tämä on mahdollista vain silloin, kun aalto saapuu aaltoopillisesti harvempaan väliaineeseen.
Kokonaisheijastumisen tunnistaa käytännössä usein siten, että taitekulman arvoa laskettaessa laskin antaa virheilmoituksen. Tämä johtuu siitä, että halutun suuruista taitekulmaa ei ole olemassa.
Esimerkki: Määritä taitekulman arvo, kun aaltorintama saapuu väliaineiden rajapintaan 78 asteen tulokulmassa ja aineiden taitesuhde on 0,52. Mikä on tässä tapauksessa kokonaisheijastumisen rajakulma?
Ratkaisu: Taitekulma saadaan taittumislaista taitesuhteen avulla
Syöttämällä laskimeen annetut arvot
laskin antaa virheilmoituksen. Tämä johtuu siitä, että taitekulman siniksi tulee
eikä sinifunktio voi saada ykköstä suurempia arvoja. Tämänsuuruista taitekulmaa ei ole olemassa.
Tilanne selkiytyy, kun lasketaan kokonaisheijastumisen rajakulma
Taitekulmaa ei ole, sillä aallon tulokulma ylittää kokonaisheijastumisen rajakulman arvon.
Vastaus: Aaltorintama kokonaisheijastuu. Kokonaisheijastumisen rajakulma on noin 31 astetta.
Aaltojen interferenssi
Äskeisessä tutkimme mitä tapahtuu, kun aaltorintama kohtaa kahden väliaineen rajapinnan. Tutkitaan seuraavaksi mitä tapahtuu, kun aaltorintama kohtaa toisen aaltorintaman. Kahden aallon yhteisvaikutusta kutsutaan aaltojen interferenssiksi.
Kahden mekaanisen aallon kohtaaminen voi olla sinulle tuttua esimerkiksi kahden moottoriveneen peräaaltojen kohtaamisesta: kun aaltorintamat osuvat päällekkäin, on tuloksena monimutkaisempi aaltokuvio. Luokkahuoneessa samaa ilmiötä voi testata vaikkapa laittamalla kaksi värähtelijää värähtelemään samaan vesiastiaan: tuloksena on interferenssiaalto.
Interferenssiaallon muodon määrittämiseen käytetään niin kutsuttua superpositioperiaatetta, joka hankalasta nimestään huolimatta on erittäin yksinkertainen. Superpositioperiaatteen mukaan aaltojen osuessa samaan paikkaan saadaan niiden synnyttämän interferenssiaallon korkeus laskemassa yksittäisten aaltojen korkeudet yhteen. Jos esimerkiksi kahden samanlaisen aallon huiput osuvat kohdakkain, on niiden summa-aallolla huippu, jonka amplitudi on kaksinkertainen alkuperäisiin amplitudeihin verrattuna. Jos taas aallon huippu ja aallonpohja osuvat kohdakkain, on summa-aallon amplitudi nolla.
Kun katkoviivalla merkittyjen aaltojen huiput tai pohjat osuvat kohdakkain, ne vahvistavat toisiaan.
Vastakkaisissa vaiheissa olevat saman amplitudin aallot kumoavat toisensa. Summa-aalto on vaaka-akselilla.
Toisiaan vahvistavien aaltojen yhteisvaikutusta kutsutaan toisinaan konstruktiiviseksi interferenssiksi ja toisensa kumoavien aaltojen yhteisvaikutusta destruktiiviseksi interferenssiksi. Esimerkiksi vastamelukuulokkeiden ”vastamelu” perustuu vastakkaisissa vaiheissa olevien ääniaaltojen interferenssi-ilmiöön.
Monimutkaisemmissa interferenssitilanteissa syntyvä summaaalto on monimutkaisempi, mutta silläkin on selvästi havaittavia samanlaisia ominaisuuksia. Esimerkiksi alapuolisessa kuvassa voit huomata kuinka huippujen ja pohjien osuessa kohdakkain on summa-aallossa huippu tai pohja.
Selvitä miten vastamelukuulokkeet tuottavat vastamelua.
Kahden eri taajuuksisen aallon (katkoviivat) interferenssiaalto (yhtenäinen viiva).
Esimerkki: Kuvassa on kaksi toisiaan kohti matkaavaa pulssia. Minkälainen on näiden pulssien interferenssiaalto kahden sekunnin kuluttua, kun yksi ruutu on metrin mittainen ja molempien vauhti on yksi metri sekunnissa?
Ratkaisu: Katsotaan ensin missä kohdin pulssit ovat, jonka jälkeen niiden amplitudit summataan jokaisessa pisteessä.
Liikutetaan ensin pulssit Tulokseksi saadaan interferenssiaalto: kaksi ruutua eteenpäin
Tulokseksi saadaan interferenssiaalto:
Tuloksena syntyy kulmikas summa-aalto (yhtenäinen musta viiva).
Meitä kiinnostavat yksiulotteisten aaltojen lisäksi usein myös kaksiulotteisessa tasossa tai kolmiulotteisessa avaruudessa etenevien aaltorintamien yhtenäisvaikutus. Tasossa yksi hyödyllinen esimerkki on kahden samalla taajuudella värähtelevän pistemäisen aaltolähteen interferenssi. Jos värähtelijät ovat lisäksi samassa vaiheessa, voidaan tilanteesta piirtää kuva, jossa syntyvien aaltorintamien huiput on piirretty yhtenäisillä renkailla (katkoviivalla merkityt pohjat ovat näiden renkaiden puolivälissä).
Tässä tilanteessa interferenssiaallon huippujen paikat saadaan yhtenäisten viivojen leikkauspisteissä ja pohjat puolestaan katkoviivojen leikkauspisteissä. Yhtenäisen viivan ja katkoviivan kohdatessa aallot kumoavat toisensa, jos yksittäisten aaltojen amplitudit ovat samat.
Interferenssiaallon huippujen ja pohjien paikkoja on usein helpointa hahmottaa summattavien aaltojen matkaeron avulla. Koska aallot lähtevät samassa vaiheessa ja niiden aallonpituudet ovat samat, ovat niiden huiput kohdakkain täsmälleen niissä pisteissä, joissa kumpikin on kulkenut kokonaisen aallonpituuden verran. Tällöin niiden kulkemissa matkoissa on matkaeroa täyden aallonpituuden verran. Etsi esimerkiksi yllä olevasta kuvasta pisteet, joissa toinen aalloista on kulkenut 2 aallonpituutta ja toinen 3 aallonpituutta - löydät interferenssiaallon huipun.
Kaksi interferoivaa tasoaaltoa.
Sama pätee aaltojen pohjille: myös interferenssiaaltojen pohjissa kahden aallon matkaero on kokonaisen aallonpituuden verran. Yllä olevassa kuvassa nämä löytyvät niistä kohdista, joissa toinen aalto on kulkenut esimerkiksi 2,5 aallonpituutta ja toinen 3,5 aallonpituutta.
Aallot vahvistavat toisiaan siis eniten silloin, kun niiden matkaero on aallonpituuden monikerta
Aallot heikentävät toisiaan eniten silloin, kun huippu ja pohja osuvat kohdakkain. Tilanteessa, jossa aallot lähtevät samassa vaiheessa tämä tapahtuu silloin, kun aaltojen matkaero on puoli aallonpituutta yli aallonpituuden monikerran
Esimerkiksi siis silloin, kun toinen aalto on kulkenut 1,5 aallonpituutta ja toinen 2 aallonpituutta. Etsi ylläolevasta kuvasta kohta, jossa aallot kumoavat toisensa ja laske matkaero siinä pisteessä.
Aaltojen diffraktio
Meillä on käsittelemättä vielä yksi aaltojen kulkuun liittyvä ominaisuus, joka eroaa kappaleiden liikkeistä: aaltojen taipuminen eli diffraktio.
Kun aaltorintama kohtaa jonkin esteen, esimerkiksi vesiaallot kohtaavat aallonmurtajan, esteen kohdalla aallot heijastuvat tulosuuntaansa ja esteen ohittava osa aaltorintamasta jatkaa matkaansa. Esteen reunoilla ja sen takana tapahtuu kuitenkin jotain erikoista: osa aallosta kulkee esteen taakse. Tilanne näyttää siltä kuin esteen reunalla olisi pistemäinen värähtelijä, josta lähtee esteen taakse ympyränmallisia aaltoja. Tätä kutsutaan aaltojen taipumiseksi eli diffraktioksi ja se voidaan ymmärtää niin kutsutun Huygensin periaatteen avulla.
Huygensin periaate: Jokainen aaltorintaman piste on uuden alkeisaallon lähde.
Periaate on sama kuin mitä aiemmin käytimme yksiulotteisen aallon kulkua tutkiessamme. Toisiinsa kytketyt värähtelijät kuljettavat aaltoliikettä eteenpäin värähtelyn siirtyessä värähtelijältä toiselle. Jokainen värähtelijä saa aikaan seuraavan värähtelyn - Huygensin periaate on tämän yleistys kahteen ja kolmeen ulottuvuuteen.
Diffraktion selittämiseen tämä periaate toimii yksinkertaisella tavalla. Esteen kohdatessaan ne aaltorintaman pisteet, jotka ovat esteen reunoilla toimivat yksittäisinä värähtelijöinä ympyränmallisten aaltojen lähteinä. Nämä (tilanteesta riippuen joko kaksi- tai kolmiulotteiset) palloaallot kulkevat esteen taakse.
Jos esteessä on vain yksi reikä, syntyy esteen toiselle puolelle yksi ympyränmallinen aalto. Jos reikiä on useampia, on esteen toisella puolella jokaisesta reiästä lähtevän ympyränmallisen aallon interferenssiaalto
Ilman esteitä voidaan ajatella, että yhen aaltorintaman huipun jokaisesta pisteestä lähtee ympyränmallinen alkeisaalto. Näiden alkeisaaltojen summa-aallon seuraava huippu näkyy aaltorintaman seuraavana huippuna. Yksittäiset aaltorintaman pisteet ovat mikrotason kuvailua ja niiden yhteisvaikutus aaltorintamina näkyy meille makrotasolla.
Yksi tärkeä tapa tutkia aaltojen ominaisuuksia on niin kutsuttu kaksoisrakokoe, jossa kahdesta vierekkäisestä raosta tulevat diffraktoituneet palloaallot interferoivat. Interferenssiaallon ominaisuuksista, erityisesti sen huippujen ja pohjien paikoista, voi päätellä aaltoliikkeen ominaisuuksia. Palaamme kaksoisrakokokeeseen kahdella seuraavalla kurssilla, joilla tutkimme sen avulla ensin valon ja sitten hiukkasten, kuten elektronien, aallonpituuksia.
Yksi tapa esimerkiksi valon aaltoluonteen todentamiseen on havaita valon interferenssi ja diffraktio. Kappaleet eivät tee kumpaakaan, joten valon voidaan päätellä olevan aaltoliikettä. Palaamme tähän seuraavalla kurssilla.
Esteen kohdatessaan aallot taipuvat esteen taakse.
Mallikuva esteen kohtaavasta aaltorintamasta. Esteen reunoilla olevat pisteet toimivat taipuvan osan (katkoviiva) lähteinä.
Aaltorintaman saapuessa yksittäiseen kapeaan rakoon, syntyy esteen toiselle puolelle yksinkertainen palloaalto.
Seisova aaltoliike
Palataan vielä aiempaan tilanteeseen, jossa loimme mekaanisia aaltoja heiluttamalla toisiinsa kytkettyjä värähtelijöitä. Katsotaan nyt tilannetta, jossa tämän ”langan” kumpikin pää on kiinnitetty johonkin, ja toinen näistä päistä värähtelee vakiotaajuudella.
Kun värähtely alkaa, langassa alkaa kulkea pulssi kohti vastakkaista päätyä. Päätyyn saapunut pulssi heijastuu takaisin ja koska alkuperäisestä tulosuunnasta tulee jo seuraava pulssi, syntyy näiden kahden pulssin interferenssiaalto. Jos interferoivien pulssien huiput tai pohjat osuvat kohdakkain, ne vahvistavat toisiaan. Kun ensimmäisenä liikkeelle lähtenyt osa heijastuu seuraavan kerran, vahvistuu interferenssi edelleen ja interferenssiaallon amplitudi kasvaa. Silloin kun jollakin välillä heijastuvat aallot vahvistavat tällä tavalla toisiaan, syntyy seisova aalto. ”Seisova” sen takia, että langassa olevat aaltojen maksimit pysyvät koko ajan samoissa kohdissa, joskin ne jatkavat värähtelyä huipusta pohjaksi ja takaisin. Silloin kun nämä värähtelyt ovat nopeita, muodostavat nopeasti vaihtuvat huiput ja pohjat verhokäyrän, jonka maksimikohtia kutsutaan kuvuiksi ja minimikohtia solmuiksi.
Seisova aaltoliike syntyy vain silloin, kun värähtelijä värähtelee sopivalla taajuudella. Tämä on edellytys sille, että heijastunut aalto on samassa vaiheessa kuin tuleva aalto. Seisovan aaltoliikkeen synnyttäviä taajuuksia kutsutaan langan (tai minkä tahansa muun väliaineen tai systeemin) ominaistaajuuksiksi.
Langan ominaistaajuudet riippuvat sen ominaisuuksista (esimerkiksi langan kireydestä) sekä siitä, ovat langan päät suljettuja vai avoimia. Suljettu pää ei pääse liikkumaan (esimerkiksi pitävä solmu), avoin pää pääsee liikkumaan vapaasti värähtelysuunnassa (esimerkiksi löysä solmu, Phet-simulaatiossa ”loose end”).
Laita simulaatiossa päälle valinnat ”oscillate”, ”fixed end” ja ”damping” liukukytkimestä nollaan. Tutki muodostuvaa interferenssiaaltoa värähtelijän eri taajuuksilla
https://phet.colorado.edu/sims/html/wave-on-a-string/latest/wave-on-a-string_en.html
Heijastuva pulssi pysyy samassa vaiheessa, jos se heijastuu avoimesta päästä ja vaihtaa vastakkaiseen vaiheeseen, jos se heijastuu suljetusta päästä.
Seisovan aallon verhokäyrä, jossa on vuorottelevia kupuja ja solmuja. Heijastuessaan avoimesta päästä syntyy kupu, suljettuun päähän muodostuu solmu.
Langan suljetussa päässä aalto heijastuu takaisin samassa vaiheessa, avoimesta päästä aalto heijastuu vastakkaisessa vaiheessa. Esimerkiksi langan yläpuolella oleva päästä heijastuva pulssi heijastuu suljetusta päästä ylöspäin ja avoimesta päästä alaspäin. Seisovassa aaltoliikkeessä suljettuun päähän syntyy solmu ja avoimeen päähän kupu. Tämä puolestaan vaikuttaa siihen kuinka monta aallonpituutta lankaan ”mahtuu” ja määrittää siten sen ominaistaajuudet.
Jos seisovan aaltoliikkeen synnyttävä värähtelijä jatkaa värähtelyä langan ominaistaajuudella, voimistuu interferenssi kaiken aikaa. Jos aaltoliike ei muista syistä lainkaan vaimene, on lopputuloksena amplitudiltaan jatkuvasti kasvava aalto. Langan ominaistaajuudella tapahtuva värähtely syöttää systeemiin jatkuvasti lisää energiaa - ilmiötä kutsutaan resonanssiksi. Palaamme resonanssiin vielä myöhemmin yhtenä esimerkkinä äänen ilmiöistä.
Yhdysvalloissa tapahtui vuonna 1940 harvinainen esimerkki seisovasta aaltoliikkeestä, kun sillan rakenteiden kanssa resonoiva tuuli aiheutti siltaan voimistuvan seisovan aaltoliikkeen:
Aaltoliikkeen energia riippuu sen amplitudista. Seisova aaltoliike kokonaisuutena ei kuljeta energiaa paikasta toiseen, sillä se pysyy paikallaan. Langassa oleva seisova aaltoliike voi kuitenkin saada esimerkiksi ympäröivän ilman värähtelemään, jolloin energiaa kulkeutuu pois systeemistä.
Ominaistaajuudet
Kun lanka on kiinnitetty päistään ja kiristetty haluttuun kireyteen (esimerkiksi kitaran kieli), on sillä tietyt ominaistaajuudet, joilla siihen syntyy seisova aalto. Ominaistaajuuksien kokoelma, eli niiden spektri, kertoo meille langan ominaisuuksista ja sitä voi käyttää sovelluksissa - esimerkiksi kitaran kielen ominaistaajuudet vastaavat eri (puhtaita) säveliä.
Ominaistaajuudet määräytyvät tilanteen geometrian perusteella.
Koska meidän täytyy saada aikaan seisova aaltoliike, täytyy päistään sidotun langan tapauksessa langan kummassakin päässä olla solmu. Yksinkertaisin tilanne on se, jossa solmujen välissä on yksi kupu: tätä kutsutaan langan perusvärähtelyksi ja sitä vastaavaa taajuutta kutsutaan langan perustaajuudeksi. Lisäämällä kupuja saadaan langan ylävärähtelyt ja niitä vastaavat ylätaajuudet.
Taajuudet voidaan määrittää, jos langan pituus ja aallon etenemisnopeus tunnetaan. Esimerkiksi, jos kuvassa olevan langan pituus on yksi metri, voidaan päätellä eri ominaistaajuuksia vastaavat aallonpituudet, sillä perustaajuutta vastaavassa värähtelyssä on puoli aallonpituutta, seuraavassa kokonainen aallonpituus ja niin edelleen. Näin ollen oheisen kuvan ominaisvärähtelyjä vastaavat aallonpituudet ovat
Otetaan esimerkin vuoksi aaltoliikkeen etenemisnopeudeksi vaikkapa 500 m/s , jolloin aaltoliikkeen perusyhtälöllä
Molemmista päistä suljetun systeemin perusvärähtely (ylimpänä) sekä kolme ensimmäistä ylävärähtelyä.
saadaan ominaistaajuudet
Huomataan, että ominaistaajuudet kasvavat tasaisesti ja jokainen ylätaajuus on perustaajuuden monikerta.
Koska langan pää voi olla joko suljettu tai avoin, meillä on kaksi muuta tapausta ominaistaajuuksille (suljettuun päähän tulee solmu, avoimeen päähän kupu). Jos molemmat päät ovat avoimia, ominaistaajuudet menevät samalla tavalla kuin kahden suljetun pään tapauksessa (vakuuta itsesi tästä annettujen kuvien avulla). Yhden suljetun ja yhden avoimen pään tapaus on erilainen, joten katsotaan vielä sen ominaistaajuudet esimerkin vuoksi. Tämä tapaus on alapuolella jäljempänä oleva kuva.
Molemmista päistä avoimen systeemin perusvärähtely (ylimpänä) sekä kolme ensimmäistä ylävärähtelyä.
Toisesta päästä suljetun ja toisesta päästä avoimen systeemin perusvärähtely (ylimpänä) sekä kolme ensimmäistä ylävärähtelyä.
Perusvärähtelyssä on nyt yksi neljäsosa aallonpituudesta, joten jos lanka on jälleen metrin mittainen, saadaan perusvärähtelyn aallonpituudeksi
Samoin voidaan määrittää ylävärähtelyjä vastaavat aallonpituudet
ja jos aallon etenemisnopeudeksi otetaan jälleen 500 m/s , saadaan ominaistaajuuksiksi
Huomataan, että jälleen jokainen ominaistaajuus on 250 Hz edellistä suurempi, mutta perustaajuus on tätä pienempi.
Tämä ero pätee aina tällaisissa systeemeissä. Molemmista päistä suljetun ja molemmista päistä avoimen systeemin ominaistaajuudet ovat kaikki perustaajuuden monikertoja ja niiden välit ovat perustaajuuden suuruiset. Toisesta päästä suljetun ja toisesta päästä avoimen systeemin ylätaajuudet ovat nekin perustaajuuden monikertoja, mutta niiden välit ovat kaksi kertaa perustaajuuden suuruiset.
Esimerkki: Erään systeemin ominaistaajuuksiksi mitattiin
Onko systeemiä parempi mallintaa molemmista päistään suljettuna vai toisesta päästä avoimena ja toisesta suljettuna?
Ratkaisu: Ylätaajuuden eivät ole perustaajuuden monikertoja, joten systeemiä ei voi mallintaa molemmista päistään suljettuna (eikä molemmista päistään avoimena). Peräkkäisten ominaistaajuuksien erotukset ovat
Perustaajuus 65 Hz on suurin piirtein puolet näistä taajuuseroista, joten systeemiä voi mallintaa toisesta päästä avoimena ja toisesta päästä suljettuna systeeminä.
Vastaus: Systeemiä kannattaa mallintaa toisesta päästä avoimena ja toisesta päästä suljettuna systeeminä.
Tehtävät
Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen.
1. a) Millainen liike on mekaaninen aaltoliike? Miten pulssi liittyy mekaaniseen aaltoliikkeeseen? Anna esimerkkitapaus mekaanisesta aaltoliikkeestä.
b) Miten poikittainen aaltoliike eroaa pitkittäisestä aaltoliikkeestä? Anna esimerkkitapaus molemmista aaltoliiketyypistä.
a) Mekaanisella aaltoliikkeellä tarkoitetaan sellaista aaltoliikettä, joka tarvitsee edetäkseen väliaineen. Se on aineessa etenevä ja jaksottaisesti toistuva häiriö eli aineen rakenneosasten heilahtelua tasapainonsa ympärillä. Pulssi liittyy mekaaniseen aaltoliikkeeseen siten, että se kuvaa väliaineessa etenevää yksittäistä häiriötä. Esimerkkitapaus mekaanisesta aaltoliikkeestä voisi olla veteen putoavan vesipisaran synnyttämä aalto.
b) Poikittaisessa aaltoliikkeessä aaltoliikkeen värähtelyt tapahtuvat poikittain eli kohtisuorasti aallon etenemissuuntaa vastaan. Mekaaninen poikittainen aaltoliike etenee vain kiinteissä väliaineissa. Tällöin aalto etenee nopeasti, sillä rakenneosasten väliset sidokset ovat lujia ja sidosvoimat suuria, minkä vuoksi rakenneosaset reagoivat nopeasti toistensa liikkeisiin. Pitkittäisessä aaltoliikkeessä taas aaltoliikkeen värähtelyt tapahtuvat aallon etenemissuunnassa ja se etenee tihentyminä ja harventumina sekä kiinteissä aineissa että nesteissä ja kaasuissa. Nesteissä ja kaasuissa aaltojen eteneminen perustuu muun muassa rakenneosasten välisiin kimmoisiin törmäyksiin.
2. Aaltoliikkeen taajuus on 7,80 Hz ja etenemisnopeus 12,40 m/s. Laske aaltoliikkeen jaksonaika sekä aallonpituus ja selvitä, kuinka kauan aaltoliikkeen siirtyminen ääriasemasta toiseen kestää? Entä kuinka kauan kestää, kun aalto on edennyt 40,0 m?
0,064 s
3,2 s
3. Eräs aalto kohtaa kahden aineen rajapinnan nopeudella 25,7 m/s, jonka jälkeen aalto taittuu ja nopeus pienenee kaksi kolmasosaan alkuperäisestä. Millä kulmalla kyseinen aalto taittuu, jos tulokulma on 31º ?
20,4º
4. Alla on kolme tilannetta (A, B ja C), jossa tasoaalto osuu vinosti rajapintaan. Selitä sanallisesti, miten tasoaallon liikesuunta muuttuu kussakin tilanteessa?
Kun aaltoliike kohtaa rajapinnan ja taittuu, sen aallonpituus ja nopeus muuttuvat toiseksi. Kuvassa A huomataan, että aalto taittuu poispäin aineiden rajapinnan normaalista, joten se etenee aineessa 1 hitaammin kuin aineessa 2. Täten aine 1 on siis aalto-opillisesti tiheämpi kuin aine 2 ja näin ollen aaltojen etenemisnopeus sekä aallonpituus kasvaa mennessä rajapinnan yli.
Kuvassa B taas huomataan, että aalto taittuu aineiden rajapinnan normaaliin päin, joten se etenee aineessa 1 nopeammin kuin aineessa 2. Täten aine 1 on siis aalto-opillisesti harvempi kuin aine 2 ja näin ollen aaltojen etenemisnopeus sekä aallonpituus pienenee mennessä rajapinnan yli.
Kuvassa C tilanne eroaa kuvan A ja B tilanteesta, sillä tässä tapauksessa aalto ei taitu ollenkaan rajapinnan yli aineeseen 2, vaan sen sijaan kokonaisheijastuu. Kyseessä on siis kokonaisheijastuminen. Tällöin aallon etenemisnopeuden täytyy olla aineessa 1 pienempi kuin aineessa 2 ja tulla lisäksi rajakulman αr tai sitä suuremman tulokulman suunnassa aalto-opillisesti tiheämmästä aineesta 1 aalto-opillisesti harvempaan aineeseen 2. Kokonaisheijastumisen seurauksena aallon taitekulma on aina 90 astetta.
5. Selitä sanallisesti, mitä aaltojen interferenssissä tapahtuu? Mitkä ehdot liittyvät kyseiseen ilmiöön? Anna esimerkkitilanne ilmiöstä.
Aaltojen interferenssillä tarkoitetaan aaltojen kohtaamisessa syntyvä yhteisvaikutusta. Aallot voivat vahvistaa toisiaan kohdissa, joissa niiden poikkeamat tasapainoasemastaan ovat samansuuntaiset tai heikentää toisiaan niissä kohdissa, joissa poikkeamat tasapainoasemastaan ovat vastakkaissuuntaiset. Täten tuloksena syntyy summa-aaltoa eli interferenssiaaltoa. Superpositioperiaatteen mukaan interferenssissä kukin aaltoliike tapahtuu itsenäisesti ja kohdattuaan toisensa aallot etenevät oman liikkeensä ja muotonsa säilyttäen. Interferoivat aallot vahvistavat toisiaan eniten silloin, kun niiden matkaero on x = nλ, jossa n = 0, 1, 2, 3, . . . . Ja vastaavasti interferoivat aallot heikentävät toisiaan eniten silloin, kun niiden matkaero on x = nλ, jossa n = 0, 1, 2, 3, . . . . Esimerkiksi aaltoaltaassa on kaksi pistemäistä aaltolähdettä, joiden lähettämät aaltorintamat kohtaavat toisiaan ja interferoituvat. Lisäksi myäs monissa soittimissa, kuten kitarassa ja pianossa on sopivaan kireyteen jännitettyjä lankoja tai tankoja, jotka synnyttävät seisovia aaltoja ja siten saavat aikaiseksi interferenssin.
6. Tarkastellaan kahta samanlaista värähtelijää, jotka värähtelevät täsmälleen samassa vaiheessa. Alla olevassa kuvassa on esitetty kaksi interferoivaa tasoaaltoa, missä sinisen ja punaisen aallon ympyrän kaaren välinen etäisyys on puolet aallonpituudesta ja kahden värähtelijöiden etäisyys on 4, 5λ . Selvitä kahden aallon matkaero pisteissä A, B ja C. Missä näissä pisteissä kyseiset aallot tällöin vahvistavat toisiaan ja missä heikentävät toisiaan?
xA = 2,5 λ.
xB = 0.
xC = 2 λ.
Aallot vahvistavat toisiaan pisteissä B sekä C ja heikentävät toisiaan pisteessä A.
7. Mitä tarkoitetaan aaltojen diffraktiolla? Anna esimerkkitilanne ilmiöstä.
Aaltojen diffraktiolla tarkoitetaan esteen aiheuttamaa valon tai muun aallon taipumista. Diffraktiossa esteen tai raon kohdalla värähtelijöinä olevat väliaineen rakenneosaset lähettävät palloaaltoja esteen tai raon reunojen taakse, minkä seurauksena alkeisaaltolähteistä lähtevät aallot interferoivat ja synnyttävät raon taakse ympyränmuotoisia aaltorintamia. Esimerkiksi aallonmurtajissa käytetään juuri hyväksi aaltojen diffraktiota.
8. Milloin seisovaa aaltoliikettä syntyy? Anna esimerkkitapaus, jossa esiintyy tämä ilmiö.
Seisova aaltoliike koostuu paikallaan pysyvistä kuvuista ja solmuista, mikä syntyy, kun vastakkaisiin suuntiin etenevät aallot interferoivat. Seisovaa aaltoa syntyy esimerkiksi moniin soittimiin, kuten puhallinsoittimiin ja kielisoittimiin. Puhallinsoittimissa seisovan aallon aiheuttaa ilma ja kielisoittimissa taas itse soittimen kieli.
9. Eräässä oppilastyössä tutkitaan seisovan aaltoliikkeen ominaisuuksia 5,0 m pituisella jännitetyllä jousella, jonka toinen pää kiinnitetään seinään. Oppilas alkaa heiluttamaan jousta niin, että jousessa etenee pulsseja, jotka heijastuvat seinästä takaisin. Kun oppilas heilauttaa 10 sekunnin aikana jouseen 35 värähtelyä, muodostuu jouseen seisovan aaltoliikkeen verhokäyrä, jossa on neljä solmua. Selvitä kyseisen aallon
a) aallonpituus.
b) taajuus.
c) etenemisnopeus.
d) yhden pulssin kulkuaika edestakaisin jousen kahden päiden välillä.
a) 3,33 m
b) 3,50 Hz
c) 11,7 m/s
d) 0,86 s