Matemaattiset taidot
Yhtälöryhmän ratkaiseminen
Kurssin hankalammissa virtapiireihin liittyvissä laskuissa tarvitsee osata ratkaista yhtälöryhmiä. Yhtälöryhmien ratkaisu on rutiinitoimenpide, jonka voit esimerkiksi sähköisessä yo-kokeessa hoitaa Abitti-järjestelmästä löytyvillä laskinohjelmistoilla. Siinäkin tapauksessa sinun tulee toki tietää mitä olet tekemässä ja opetella käyttämään laskinohjelmistoa riittävän sujuvasti.
Yhtälöryhmä tarkoittaa kahden tai useamman yhtälön joukkoa, jossa jokaisen yhtälön täytyy toteutua samanaikaisesti. Yhtälöryhmässä on useimmiten yhtä monta tuntematonta kuin on yhtälöitäkin, mutta niitä voi erikoistapauksissa olla myös eri määrä. Kolmen yhtälön yhtälöryhmä voisi näyttää esimerkiksi tältä:
Huomaa, että tätä tarvitaan vain vaikeimmissa laskuissa, joten ei hätää vaikka tämä tässä kohtaa tuntuisi hankalalta.
Yhtälöryhmän ratkaisuna saadaan kaikki tuntemattomat, esimerkiksi äskeisen yhtälöryhmän ratkaisu on
Voit aina tarkistaa tuloksen sijoittamalla ratkaisun alkuperäiseen yhtälöryhmään.
Yhtälöryhmän voi ratkaista joko graafisesti tai algebrallisesti (eli laskemalla). Käytännössä graafinen ratkaisutapa soveltuu vain kahden muuttujan yhtälöpariin ja tätä suuremmat yhtälöryhmät ratkaistaan algebrallisesti. Ratkaisu onnistuu yksinkertaisissa tapauksissa kynällä ja paperilla, mutta suurempien yhtälöryhmien kohdalla yleensä selkeästi nopein keino on käyttää CAS-laskinta.
Lasketaan tässä esimerkin vuoksi yksi kolmen yhtälön yhtälöryhmä sekä ”käsin,” että Geogebran CAS-laskimella. Ratkaisumenetelmät voit kerrata matematiikan kursseilta. Huomaa, kuinka käsin ratkaiseminen on työlästä ja siinä tekee helposti virheitä.
Yhtälöparissa kumpikin yhtälöistä on suoran yhtälö ja yhtälöparin ratkaisu on näiden suorien leikkauspiste.
Esimerkki: Ratkaise yhtälöryhmä
Yhtälössä on kolme tuntematonta (a,b,c), jotka täytyy ratkaista. Käytetään niin sanottua eliminointimenetelmää eli yhteenlaskumenetelmää, jossa yhtälöitä summataan toisiinsa sopivilla kertoimilla kerrottuina. Kahdessa viimeisessä yhtälössä on sopivasti a:n kertoimena vastaluvut, joten jos viimeiseen yhtälöön lisätään toisiksi viimeinen saadaan:
Nyt kertoimet eivät enää osu niin mukavasti kohdilleen, mutta onneksi niitä saa muutettua kertomalla tai jakamalla yhtälöitä sopivilla vakioilla. Kerrotaan toista yhtälöä kakkosella ja lisätään siihen ensimmäinen yhtälö, jolloin tulokseksi saadaan:
Kahden viimeisen yhtälön kertoimet näyttävät nyt melko mukavilta. Lisätään toisiksi viimeinen yhtälö viimeiseen miinus ykkösellä kerrottuna:
Nyt viimeisestä yhtälöstä voidaan ratkaista c = 0. Tämän voi sijoittaa toisiksi viimeiseen ja ratkaista siitä tuntemattoman b:
Lopuksi vielä sijoitetaan ensimmäiseen yhtälöön b = −5 ja c = 0 ja ratkaistaan siitä a
Yhtälöryhmän ratkaisuksi saadaan lopulta:
Nämä muuttujien arvot toteuttavat siis yhtä aikaa kaikki yhtälöryhmän kolme yhtälöä.
Sama tulos Geogebran CAS-laskimella ratkaistuna:
Harjoittele lisää yhtälörymiä:
Tehtävät
Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen.
Ratkaise yhtälöryhmä
a = 11 b = 3 c = 9/2
2. Ratkaise yhtälöryhmä
z = 8/3 y = 4/63 x = − 22/9
3. Ratkaise yhtälöryhmä
k = −2 i = 130 j = 20
4. Daniel, Hermanni ja Wille valmistautuvat piknikille. Daniel ostaa itselleen viisi omenaa, kaksi limua ja kaksi patukkaa, Wille ostaa limun ja kolme patukkaa ja Hermanni ostaa kolme omenaa, kaksi limua ja patukan. Danielin ostokset maksavat 10,2 €, Willen 3,4 € ja Hermannin 7,8 €. Muodosta ostoksista yhtälöryhmä ja selvitä yksittäisten tuotteiden hinnat.
Omenan hinta on 1 €, limun hinta 2,2 € ja patukan hinta 0,4 €.