Virtapiirit
Kurssin alkupuoli käsittelee virtapiirien ominaisuuksia ja sähkövirtaan liittyviä käsitteitä. Tarvitsemme aluksi hieman johdattelua siihen, mitä sähkövirta itseasiassa on, joten aloitamme sähköisen vuorovaikutuksen tarkastelulla. Palaamme mikrotason sähköiseen vuorovaikutukseen tämän materiaalin loppupuolella, kun meillä on käytössä enemmän tarvittavia työkaluja.
Sähkömagneettinen vuorovaikutus
Muistamme FY1-kurssilta, että sähkömagneettinen vuorovaikutus on yksi luonnon neljästä perusvuorovaikutuksesta ja gravitaation ohella meille tutuin arkipäivän ilmiöistä. Gravitaatio vaikuttaa vetävänä vuorovaikutuksena kaikkien massiivisten kappaleiden välillä, mutta sähkömagneettinen vuorovaikutus voi olla joko vetävä tai hylkivä. Massaa on vain yhdenlaista, mutta sähkövarauksia on kahdenlaisia: niitä kutsutaan positiivisiksi ja negatiivisiksi varauksiksi. Nimet voisivat periaatteessa olla mitä tahansa muutakin, esim. punainen ja sininen, mutta positiivinen (+) ja negatiivinen (-) ovat kätevät nimet laskujen kannalta. Atomin keskellä on positiivisesti varatuista protoneista ja sähköisesti neutraaleista neutroneista koostuva ydin, jonka sähkövaraus on positiivinen. Voidaan sanoa, että negatiivisesti varatut elektronit pysyvät atomin ympärillä, koska erimerkkiset varaukset vetävät toisiaan puoleensa.
Otetaan esimerkiksi litium-atomi, jolla on kolme protonia ja kolme elektronia. Protoneilla ja elektroneilla on samansuuruiset vastakkaismerkkiset varaukset, joten atomin sähkövaraus on (aina) nolla. Kemiasta on tuttua, että litium mielellään luovuttaa yksittäisen ulkoelektroninsa pois, jolloin siitä tulee litium-ioni, jonka varaus on +1 (3 protonia ja 2 elektronia). +1 ei ole SI-järjestelmän yksiköissä, vaan se kertoo meille, että ionin varaus on yhden elektronin varauksen verran positiivinen. Litium-ionin varaus on suuruudeltaan yhtä suuri kuin elektronin varaus e, joka SI-yksiköissä on suuruudeltaan
Sähkövarausta merkitään symbolilla Q tai q ja elektronin varauksen suuruudelle, eli niin sanotulle alkeisvaraukselle, on varattu oma symboli e. Sähkövarauksen yksikkö on coulomb, jonka symboli on C. SI-järjestelmän perusyksiköiden avulla se voidaan kirjoittaa 1 C = 1 As, missä A on sähkövirran yksikkö ampeeri.
Sähköisesti varatun makroskooppisen kappaleen sähkövaraus koostuu aina joko ylimääräisistä tai puuttuvista elektroneista, joten kappaleen sähkövaraus on aina muotoa
missä n on kokonaisluku.
Sama pätee ioneille, joten esimerkiksi happi-ionin O⁻² varaus SI-yksiköissä on
Protonit pysyvät ytimessä hylkivästä vuorovaikutuksesta huolimatta, koska ytimessä vaikuttaa myös vetävä vahva vuorovaikutus, joka on sähkömagneettista vuorovaikutusta voimakkaampi.
Litium-atomi saavuttaa oktetin luovuttamalla pois uloimman kuoren elektroninsa. Tällöin siitä tulee Li+-ioni.
Sähkövaraus saa siis vain ja ainoastaan diskreettejä arvoja, eli se on kvantittunut suure.
Nykytiedon mukaan massa saa mitä tahansa arvoja, joskin on olemassa hypoteesi pienimmästä mahdollisesta alkeismassasta, jota kutsutaan Planckin massaksi. Selvitä mitä Planckin massa tarkoittaa.
Esimerkki: Kappaleen varaus on Q = −2,4 mC, kuinka monta ylimääräistä elektronia sillä on?
Ratkaisu: Kappaleen sähkövaraus koostuu alkeisvarauksista, joita on n kappaletta.
Vastaus: Ylimääräisiä elektroneja on noin 1,5·10¹⁶ kappaletta.
Coulombin voima
Jos meillä on kaksi sähköisesti varattua kappaletta tai hiukkasta, niiden välillä vaikuttaa vetävä tai hylkivä vuorovaikutus, eli kumpikin kokee sähköisen voiman. Otetaan esimerkiksi erimerkkiset varaukset ja yksinkertaisuuden vuoksi Q₁ = +e ja Q₂ = −e, kyseessä voisivat olla siis esimerkiksi protoni ja elektroni.
Jos hiukkaset ovat lähekkäin ja vedämme niitä kauemmaksi toisistaan, meidän täytyy tehdä työtä sillä hiukkaset vetävät toisiaan puoleensa. On helppo arvata, että vetävä voima on sitä suurempi, mitä suuremmat varaukset niillä on. Samoin on helppo uskoa, että jos hiukkaset ovat hyvin lähekkäin, ne kokevat suuremman voiman kuin jos ne ovat kaukana toisistaan. Nämä kaksi ennakkoluuloa osoittautuvat oikeiksi ja ovat näkyvissä sähköisen voiman suuruutta kuvaavassa Coulombin laissa, joka tyhjiössä kirjoitettuna on:
Sähköisen voiman suuruus riippuu kappaleiden varauksista, niiden välisestä etäisyydestä sekä niiden välissä olevasta väliaineesta.
Laki on tässä kirjoitettu kahdessa eri muodossa, sillä kumpaakin kirjoitustapaa käytetään. Osoittajasta löytyy hiukkasten (tai kappaleiden) varaukset Q₁ ja Q₂ ja nimittäjästä löytyy niiden välisen etäisyyden neliö r². Loput kaavasta löytyvät symbolit ovat luonnonvakioita.
Väliaineen permittiivisyys ε on sitä pienempi, mitä voimakkaammin sähköinen vuorovaikutus pääsee vaikuttamaan väliaineen läpi. Tyhjiön permittiivisyys on noin ε₀ ≈ 8,854188·10⁻¹² C²/Nm² . Kaavan jälkimmäisessä kirjoitustavassa on yhdistetty edessä olevat vakiot yhdeksi vakioksi
Jos väliaine on jotain muuta kuin tyhjiö, otetaan se huomioon lisäämällä kaavaan väliaineen suhteellinen permittiivisyys εr
Useimmissa fysiikan tehtävissä ollaan joko tyhjiössä tai kuivassa huoneilmassa, jolloin voidaan asettaa εr = 1 ja palataan Coulombin lakiin tyhjiössä. Esimerkiksi veden permittivyys on noin εr ≈ 81, joten sähköisen voiman suuruus vedessä on vain noin prosentti siitä mitä se on ilmassa.
Esimerkki: Kalsium-ioni Ca²⁺ on tyhjiössä 2 nm etäisyydellä elektronista. Määritä kalsium-ioniin kohdistuva voima?
Ratkaisu: Hiukkasten varaukset ovat Q₁ = 2e ja Q₂ = −e. Sijoitetaan Coulombin voiman kaavaan varausten suuruudet (itseisarvot). Voiman suunta kannattaa yleensä päätellä erikseen: tässä tilanteessa on kaksi erimerkkistä varausta, joten kalsium-ioniin kohdistuva sähköinen voima suuntautuu kohti elektronia. Voiman suuruudeksi saadaan:
Vastaus: Voiman suuruus on noin 0,12 nN ja se kohdistuu kohti elektronia.
Sähköinen potentiaalienergia
Jokaiseen voimaan liittyy potentiaalienergiaa. Sähköiseen voimaan liittyvää potentiaalienergiaa syntyy esimerkiksi silloin, kun negatiivisesti varattua kappaletta siirretään kauemmaksi positiivisesti varatun kappaleen läheltä. Kun kauemmas siirretty negatiivisesti varattu kappale päästetään liikkumaan vapaasti, muuttuu tämä sähköinen potentiaalienergia kappaleen liike-energiaksi.
Palaamme tämän materiaalin loppupuolella tarkemmin sähköisesti varattujen kappaleiden ja hiukkasten välisiin voimiin ja sähköiseen energiaan. Tässä kohtaa on kuitenkin hyvä muodostaa näistä jonkinlainen mielikuva, sillä ne auttavat meitä tulevissa luvuissa muun muassa sähkövirran ja jännitteen ymmärtämisessä.
Kuvitellaan positiivisesti varattu kappale, jonka varaus on Q₁ ja siitä etäisyydellä r oleva negatiivisesti varattu kappale, jonka varaus on Q₂. Kumpikin näistä varauksista on jokin alkeisvarauksen monikerta, sillä kappaleiden varaukset ovat ylimääräisiä tai puuttuvia elektroneja.
Jos kappaleet ovat aluksi lähellä toisiaan ja vedämme niitä erilleen, täytyy meidän tehdä työtä, joka varastoituu kappaleiden sähköiseksi potentiaalienergiaksi. Toisin sanoen mitä kauempana negatiivisesti varattu kappale on positiivisesti varatusta kappaleesta, sitä enemmän sillä on potentiaalienergiaa.
Kappaleen sähköisen potentiaalienergian voi ajatella koostuvan sen ylimääräisten (tai puuttuvien) elektronien potentiaalienergioista. Jokaisella hiukkasella on oma potentiaalienergiansa ja laskemalla nämä yhteen saadaan kappaleen potentiaalienergia. Kappaleen potentiaalienergia kasvaa siis lineaarisesti sen sähkövarauksen mukana. Jos varausta ei ole lainkaan, ei ole myöskään potentiaalienergiaa, joten nämä suureet ovat lisäksi suoraan verrannolliset.
Laskemalla työ, joka tarvitaan negatiivisesti varatun kappaleen liikuttamiseen positiivisesti varatun kappaleen ulkopuolella, voidaan johtaa kappaleen sähköisen potentiaalienergian lauseke coulombin voiman lausekkeesta. Tulokseksi saadaan tyhjiössä
Potentiaalienergian lausekkeesta nähdään, että mitä suuremmat ovat kappaleiden varaukset sekä mitä kauempana kappaleet ovat toisistaan, sitä enemmän niillä on potentiaalienergiaa.
Palaamme sähköiseen energiaan tämän materiaalin loppupuolella. Jo tässä vaiheessa on kuitenkin hyvä ymmärtää, että seuraavaksi käsiteltävät virtapiirien suureet, kuten sähkövirta ja jännite, ovat seurausta sähkömagneettisesta vuorovaikutuksesta ja juontuvat pohjimmiltaan tähän vuorovaikutukseen liittyvistä energiaeroista.
Esimerkiksi ladattavaa akkua voi yksinkertaistettuna ajatella siten, että ladatessa erimerkkisiä varauksia erotetaan toisistaan, jolloin akkuun varastoituu sähköistä potentiaalienergiaa. Kun akkua käytetään, vapautuu tämä energia muuhun käyttöön.
Tehtävät
1. Laske atomin varaus, kun
a) siihen on tuotu kolme ylimääräistä elektronia,
b) siltä on viety yksi elektroni.
a) Q = −4,806529902 · 10⁻¹⁹ C
b) Q = 1,602176634 · 10⁻¹⁹ C
2. Kuinka monta elektronia pitää tuoda kappaleeseen, tai viedä siitä, jotta varaus olisi
a) –6,2 mC
b) –5,0 kC
c) 2,7 mC
a) 3, 9 · 10¹⁶
b) 3, 1 · 10²²
c) 1,9 · 10¹⁶
3. Määritä varaukseen Q₁ = −3e kohdistuvan Coulombin voiman suunta ja suuruus tyhjiössä, kun
a) Q₁ on etäisyydellä 12 nm varauksesta Q₂ = 2e,
b) varausta Q₂ siirretään 9 nm lähemmäs,
c) varaus Q₂ vaihdetaan negatiiviseksi (a-kohdan etäisyydellä)
a) 9,6 pN Varaukset ovat vastakkaismerkkiset, joten voiman suunta on varausta Q₂ kohti.
b) 0,15 nN Koska varausten etumerkki ei muuttunut, voiman suunta on edelleen kohti varausta Q₂.
c) FC ≈ 9,6 · 10⁻¹² N. Poispäin varauksesta Q₂.
4. Määritä kahden saman merkkisen alkeisvarauksen välinen etäisyys tyhjiössä, kun varaukset kohdistavat toisiinsa voiman FC = 0,45 nN
r ≈ 72 nm
5. Happi-ioni O²⁻ on vedessä etäisyydellä 3,2 nm kloori-ionista Cl⁻. Määritä happi-ioniin kohdistuva voima.
FC ≈ 0,56 pN
6. Laske kahden elektronin välinen potentiaalienergia etäisyydellä 2,3 nm.
EP ≈ −10 · 10⁻²º J