Voima

Jälkimmäinen muotoilu Newtonin I laista on oikeastaan Newtonin II lain erikoistapaus.

Newtonin II laki, eli ”dynamiikan peruslaki,” sanoo, että kappaleeseen vaikuttava kokonaisvoima on suoraan verrannollinen kappaleen saamaan kiihtyvyyteen. Vektoriyhtälönä tämä voidaan kirjoittaa

Voiman ja kiihtyvyyden välinen verrannollisuuskerroin on kappaleen massa m. Jos pidetään mielessä, että kappaleen kiihtyvyys on aina samaan suuntaan kuin siihen vaikuttava kokonaisvoima, voidaan unohtaa vektorimerkit ja katsoa vain voiman ja kiihtyvyyden suuruutta:

Jos siis osaamme laskea kappaleeseen vaikuttavan kokonaisvoiman ja tiedämme sen massan, osaamme laskea sen kiihtyvyyden.

Jos kappaleeseen vaikuttava voima pysyy vakiona, myös kiihtyvyys pysyy vakiona. Tällöin voimme käyttää kappaleen nopeudelle ja paikalle meille jo tuttuja laskukaavoja:

Kahden kappaleen (tai esimerkiksi hiukkasen) välillä vaikuttaa yksi vuorovaikutus. Kumpikin kappale kokee vuorovaikutuksen siihen kohdistuvana voimana. Vuorovaikutus vaikuttaa molempiin yhtä voimakkaasti, sillä vuorovaikutuksen voimakkuuksia on vain yksi. Kumpaankin kappaleeseen vaikuttaa siis yhtä suuri voima. Voimat ovat vastakkaissuuntaiset, yhtä suuret ja ne vaikuttavat eri kappaleisiin.

Toinen tapa sanoa sama asia on Newtonin III laki: jokaiseen voimaan liittyy samansuuruinen ja vastakkaissuuntainen vastavoima.

Vastavoima vaikuttaa aina eri kappaleeseen kuin alkuperäinen voima. Voima ja vastavoima ovat saman vuorovaikutuksen kaksi puolta.

Esimerkki: Työnnät kappaletta 20 Newtonin voimalla sivutuulessa, joka kohdistaa kappaleeseen 3 Newtonin voiman. Kuinka monen asteen poikkeaman tuuli aiheuttaa kappaleen saamaan kiihtyvyyteen?

Ratkaisu: Piirretään laatikkoon vaakasuunnassa vaikuttavat voimat ja niistä muodostuva suorakulmainen kolmio

Vaikuttavat voimat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, joten kokonaisvoiman ja työntövoiman välinen kulma saadaan tangentin avulla

Vastaus: Laatikon saama kiihtyvyys on samaan suuntaan kuin kokonaisvoima, joten se muodostaa noin 9 asteen kulman työntösuuntaan nähden.

Vaikein tapaus on silloin, kun voimien välillä on jokin muu kulma kuin 0, 90 tai 180 astetta. Tällöin kannattaa edetä kolmessa osassa:

1. Jaetaan ensin toinen voimista kahteen komponenttiin. Toinen näistä tulee samansuuntaiseksi ja toinen kohtisuoraksi ongelman toista voimaa vastaan.

2. Lasketaan samansuuntainen komponentti yhteen toisen voiman kanssa

3. Saatu summavektori on kohtisuorassa jäljelle jääneen komponentin kanssa ja kokonaisvoima saadaan samalla tavoin kuin edellisessä esimerkissä käyttämällä Pythagoraan lausetta.

Voiman jakaminen kahteen komponenttiin vaatii jo sekin harjoittelua. Idea on käänteinen kahden kohtisuorassa toisiaan vastaan olevan vektorin summaamiselle. Jos suorakulmaisesta kolmiosta tiedetään molempien kateettien pituus, voidaan laskea hypotenuusan pituus ja kolmion kulmat. Jos taas tiedetään hypotenuusan pituus ja yhden kateetin ja hypotenuusan välinen kulma, voidaan laskea kateettien pituudet.

Esimerkki: Taulu, jonka massa on 1,5 kg, ripustetaan yhteen naulaan langalla, jonka pituus on 90 cm. Langan päät on kiinnitetty taulun reunoille 70 cm etäisyydelle toisistaan. Laske lankaan kohdistuvan jännitysvoiman suuruus.

Ratkaisu: Langan jännitysvoiman täytyy kumota taulun paino, jotta taulu pysyy seinällä. Painovoima ja langan jännitysvoima suuntautuvat kuitenkin eri suuntiin, kuten voimakuviosta alapuolelta nähdään.

Jotta voimia voidaan vertailla, kannattaa langan jännitysvoima T jakaa vaakasuoraan ja pystysuoraan osaan. Tämä on tehty toisessa kuvassa.

Nyt pääsemme laskemaan vaakasuoria ja pystysuoria vektoreita yhteen. Jotta taulu pysyy paikallaan, täytyy sekä vaaka- että pystysuorassa olla:

Kaksi vaakasuoraa jännitysvoiman komponenttia kumoavat toisensa, sillä tilanne on symmetrinen. Meidän pitää siis huolehtia vain pystysuunnasta, jossa täytyy toteutua:

Kulman avulla voidaan vihdoin ratkaista T (samasta kuvasta):

Vastaus: Langan jännitysvoiman suuruus on noin 12 Newtonia.

Meille tähän mennessä tuttuja voimia ovat esimerkiksi painovoima ja pinnan tukivoima. Arkielämän ilmiöissä esiintyy myös muita voimia, katsotaan niistä kolmea: kitkaa, väliaineen vastusta ja nostetta.

Kitka

Myös liikettä vastustavia voimia käsiteltiin jo FY1-kurssilla. Kitkaa ja ilmanvastusta on hyvä katsoa nyt uudelleen, kun osaamme laskea kappaleeseen vaikuttavan kokonaisvoiman eri tilanteissa.

Ensinnäkin pitää muistaa, että kitkavoima on erisuuruinen riippuen siitä onko kappale liikkeellä vai paikallaan. Paikallaan ollessa puhutaan lepokitkasta, joka vaikuttaa kappaleeseen niin kauan kunnes se lähtee liikkeelle. Jos paikallaan olevaa kappaletta vedetään voimalla F, on lepokitka yhtä suuri kuin vetävä voima. Lepokitkan maksiarvo saavutetaan juuri ennen kuin kappale lähtee liikkeelle. Tätä lepokitkan arvoa kutsutaan lähtökitkaksi.

Kun kappale on jo liikkeellä, siihen vaikuttaa liikekitka, joka on lepokitkan maksimiarvoa pienempi. Liikkeellä oleva kappale siis tarrautuu alustaan hieman vähemmän kuin paikallaan oleva kappale. Kitkavoiman suuruus riippuu kahdesta asiasta: toisiaan vasten hankaavista materiaaleista ja voimasta, jolla pinnat painuvat toisiaan vasten. Kitkavoiman suuruus lasketaan

F_µ = µN,

missä µ on materiaaliparia kuvaava kitkakerroin ja N on kappaleeseen kohdistuvan tukivoiman suuruus. Kitkakerroin µ on paljas luku (ei yksikköä), normaalisti välillä [0,1], eli kitkavoima on tukivoimaa pienempi. Taulukkokirjoissa on annettu sekä lepokitkan että liikekitkan arvot eri materiaaliyhdistelmille. Varmista, että löydät ne tarvittaessa. Yksinkertaisimmassa tilanteessa vetävä voima F voidaan asettaa liikkeen suuntaiseksi ja kitkavoima F_µ liikesuunnalle vastakkaiseksi. Tällöin vaakasuuntaisen kokonainaisvoiman suuruus on näiden voimien erotus:

F_kok = F − F_µ

Tämän yhtälön avulla voidaan laskea esimerkiksi kappaleen kiihtyvyys tai liikkeensuuntaisen kokonaisvoiman tekemä työ. Tilanne on hieman hankalampi, jos kappaleeseen vaikuttavat voimat eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tällöin meidän tarvitsee ensin jakaa voimat toisiaan vastaan kohtisuoriin komponentteihin.

Tämän avulla voidaan laskea pulkan kiihtyvyys, kun käytetään hyväksi Newtonin II:sta lakia x-suunnassa ja muistetaan, että painovoiman suuruus on G = mg:

Nyt kun meillä on kiihtyvyyden lauseke, pitää vielä ratkaista laskuun kuluva aika. Kiihtyvyys on tasaista ja voimme olettaa Jennin lähtevän alkunopeudella v₀ = 0 lähtöpaikasta x₀. Käytetään laskukaavaa tasaisen kiihtyvyyden ja paikan välillä

Kuljettu matka x(t) − x₀ on 40 metriä ja kaikki muutkin arvot tiedetään, joten sijoitetaan ne laskukaavaan ja syötetään laskimeen:

Vastaus: Jennin mäenlasku kestää noin 7 sekuntia

Väliaineen vastus

Toinen meille arjesta tuttu liikettä vastustava voima on väliaineen vastus, esimerkiksi ilmanvastus. Kivi putoaa nopeammin kuin höyhen, jos ilma vastustaa sen liikettä - tyhjiössä molemmat putoavat yhtä nopeasti. Samoin tiedät kuinka kivi putoaa hitaammin vedessä kuin ilmassa.

Syynä on väliaineen vastus, joka on siis vedessä suurempi kuin ilmassa. Väliaineen vastus on ilmiönä monimutkainen, sillä se perustuu osittain väliaineessa tapahtuvaan turbulenssiin, joka on luonteeltaan kaoottista. Sitä voidaan kuitenkin tutkia kokeellisesti ja tällaisella tutkimuksella on keskeinen rooli esimerkiksi autojen ja lentokoneiden suunnittelussa.

Väliaineen vastus voidaan ajatella johtuvan työstä, joka joudutaan tekemään kappaleen lähellä olevien molekyylien liikuttamiseksi. Väliaineen molekyylit pitää siirtää kappaleen tieltä, jotta kappale ”mahtuu” siirtymään eteenpäin. Tästä aiheutuvat vuorovaikutukset näkyvät meille makroskooppisella tasolla liikettä vastustavana voimana.

Tiheämmät väliaineet vastustavat kappaleen liikettä eniten. Samoin on selvää, että pinta-alaltaan suurien kappaleiden liikkeeseen kohdistuu suurempi vastusvoima. Oleellinen osa on myös kappaleen muodolla: vesipisarat ovat pisaran mallisia juuri minimoidakseen ilmanvastuksen. Pallonmuotoiseen vesipisaraan kohdistuisi huomattavasti suurempi vastusvoima.

Viimeinen vaikuttava tekijä on kappaleen nopeus. Tiedät kokemuksesta, että pyöräillessäsi ilmanvastus on sitä suurempi, mitä kovempaa vauhtia kuljet. Tästä johtuen esimerkiksi putoavilla kappaleilla liikettä vastustava voima kasvaa kappaleen kiihtyvän liikkeen mukana - tämä jatkuu kunnes vastustavasta voimasta tulee yhtä suuri kuin kappaleen paino, minkä jälkeen kappale putoaa tasaisella nopeudella.

Yllä olevien suureiden avulla voidaan kirjoittaa yksinkertainen malli väliaineen vastuksen suuruudelle:

Tässä termi c_v kuvaa kappaleen muotoa, A on liikettä vastaan kohtisuora pinta-ala, ρ on väliaineen tiheys ja v on kappaleen nopeus. Riippuvuus kustakin suureesta (esim. F_v ∼ v²) voidaan testata kokeellisesti.

Noste

Jos kannattalet painavaa esinettä ja viet esineen veden alle, tiedät kokemuksesta, että se ”kevenee”. Toisin sanoen sinun tarvitsee kannatella sitä vähemmän, eli käteesi kohdistuva voima pienenee.

Kun kannattelet esinettä, se pysyy paikallaan. Jos esineeseen ei kohdistu muita voimia, kätesi esineeseen kohdistava voima on yhtä suuri kuin esineen paino G. Painovoima kohdistuu alaspäin ja käden tukivoima ylöspäin.

Kun viet esineen veden alle, siihen kohdistuu toinenkin voima ylöspäin: noste. Vesi siis myös kannattelee kappaletta ja pienentää kädeltä vaadittavaa voimaa. Jos kappale pysyy kädelläsi, esineeseen kohdistuvat käden tukivoima ja noste ovat yhteensä yhtä suuret kuin esineen paino. Kiven paino ei siis pienene, vaan ”keveneminen” johtuu nosteesta.

Nosteen suuruus voidaan laskea Arkhimedeen lain avulla: se on sama kuin kappaleen syrjäyttämän väliaineen paino. Nosteen suuruus eli syrjäytetyn väliaineen (esim. veden) paino voidaan laskea kappaleen tilavuuden ja väliaineen tiheyden avulla:

N = mg = ρVg

Laskukaava on yksinkertainen, mutta symbolien merkityksen kanssa pitää olla tarkkana. Kaavassa V on kappaleen tilavuus ja ρ on väliaineen tiheys. Jos vain osa kappaleesta on väliaineessa (esim. kelluva kappale), tulee kaavaan vain väliaineessa oleva osa tilavuudesta. Nosteen suuruus riippuu siis vain kappaleen väliaineessa olevasta tilavuudesta, ei esimerkiksi sen materiaalista.

Esimerkki: Kannattelet kiveä, jonka tilavuus on 12 cm³ ja massa 47 g. Minkäsuuruinen voima käteesi kohdistuu, kun viet kiven veden alle?

Ratkaisu: Kiven tiheys on ρ_k = 47/12 g/cm³ ja veden tiheys on noin ρ_v = 1 g/cm³ . Tilanteessa vaikuttaa kolme voimaa, jotka ovat tasapainossa: kiven paino, noste ja käden kiveen kohdistama tukivoima. Näille kolmelle voimalle voidaan kirjoittaa skalaariyhtälö:

Esimerkki: Osittain täytetty vesiastia on vaa’alla. Tökkäät sormesi veteen. Kasvaako vaa’an lukema vai ei?

Ratkaisu: Vesi kohdistaa sormeen ylöspäin suuntautuvan voiman, nosteen. Tällä voimalla on Newtonin III lain mukaan vastavoima, joka on samansuuruinen ja vastakkaisuuntainen. Vastavoima kohdistuu veteen alaspäin työntävästi, jolloin vaaka näyttää aiempaa enemmän. Vaa’an lukema siis nousee. Voit ajatella myös niin, että sormessasi tuntuva voima välittyy veden avulla vaa’alle. Tuntemus sormenpäässäsi ja kasvava vaa’an lukema ovat samat riippumatta siitä, onko välissä vettä tai ei.

Paineen määritelmän mukaan siihen liittyvä voima voidaan laskea yhtälöstä:

Nyt voidaan kirjoittaa nosteelle:

Paine-ero puolestaan voidaan laskea hydrostaattisen paineen lasku- Kertaa hydrostaattinen paine lämpöopista. kaavaa hyväksi käyttäen (ρ on veden tiheys)

gA Paine-ero ja sitä kautta noste riippuvat siis kannen ja pohjan syvyyserosta, joka tässä tapauksessa on yksi metri. Sijoittamalla suureet saadaan nostee

Vastaus: Tynnyriin kohdistuva noste on noin 16 kN.

Huomaa, kuinka lopullisessa kaavassa esiintyy yhdistelmä tynnyrin korkeus kertaa pohjan pinta-ala, eli tynnyrin tilavuus. Tässäkin laskussa on siis lopulta käytetty ”normaalia” nosteen laskukaavaa: N = ρVg

Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen