Kiertoliike
Aiemmin kurssilla tarkasteltiin kappaleen liikkeen ja siihen vaikuttavien voimien yhteyttä. Jos kappaleeseen vaikuttava kokonaisvoima on nolla, kappaleen liike ei muutu. Erityistapaus tästä on, että kappale pysyy paikoillaan.
Vaikka kappale pysyy paikoillaan, jää vielä se mahdollisuus, että kappale pyörii massakeskipisteensä ympäri. Paikallaan pysyminen tarkoittaa siis vain, että kappaleen massakeskipiste ei liiku. Tarvitsemme lisäehdon, jos haluamme varmistaa, että kappaleeseen vaikuttavat voimat eivät aiheuta pyörimistä tai muutakaan kiertoliikettä.
Voiman momentti
Kuvittele kääntäväsi mutteria jakoavaimen avulla. Kun käännät jakoavainta, mutteri kiertyy keskipisteensä ympäri, mutta sen keskipiste ei lähde liikkeelle. Mitä pidempi jakoavaimen varsi on, sitä pienemmän voiman tarvitset mutterin kääntämiseen. Voiman kiertovaikutusta kuvataan voiman momentin avulla. Momentti aiheuttaa kappaleen kiertymisen jonkin pyörimisakselin ympäri.
Jotta momentti (jonkin kiertoakselin suhteen) saadaan aikaan, voima tarvitsee vipuvarren. Kiertoliikettä syntyy vain, jos vaikuttavalla voimalla on vipuvarteen vaikutus kohtisuorassa suunnassa (kiertymistä ei tapahdu, jos työnnät jakoavainta päin mutteria). Momentti lasketaankin vipuvarren pituuden l ja vipuvartta kohtisuorassa olevan voiman komponentin avulla
Momentin yksikkö on Nm. Momentin suunta on tärkeä, sillä mutteria voi kääntää kahteen suuntaan, auki ja kiinni. Vastakkaissuuntaiset yhtä suuret momentit kumoavat toisensa.
Huomaa, että jos kappaleeseen vaikuttava voimavektori kulkee pyörimisakselin läpi, sillä ei ole vaikutusta kiertymiseen, koska silloin vipuvarren pituus (voiman vaikutussuoran etäisyys kiertoakselista) on nolla.
Voiman momentti riippuu vipuvarren pituudesta ja tätä vastaan kohtisuoran voiman suuruudesta.
Jos voima ei ole kohtisuorassa vipuvartta vasten, jaetaan se komponentteihin, joista poimitaan kohtisuora komponentti.
Statiikka
Kappaleen kiertoliike tukipisteen P suhteen ei muutu, jos P:n suhteen määritellyt voiman momentit summautuvat nollaksi. Kiertoliikkeen tasapainoehto on siis:
Tätä on hyvä verrata Newtonin I lakiin, jonka mukaan kappaleen liike ei muutu, jos siihen vaikuttavat voimat summautuvat nollaksi. Tilanteissa, jossa kappale ei ole liikkeessä eikä kiertoliikkeessä, puhutaan statiikasta. Statiikan perusyhtälöt ovat siis
Tyypillinen tilanne on sellainen, että haluamme määrittää kappaleeseen vaikuttavat momentit sillä ehdolla, että kappale ei kierry. Kappale ei kierry silloin, kun se on kiertymättä minkä tahansa kiertoakselin suhteen. Kannattaa siis valita kiertoakseli siten, että se helpottaa laskua. Yleensä kannattaa valita kiertoakseli jonkin vaikuttavan voiman kohdalle, jolloin yksi momenteista on nolla.
Esimerkki: Metrin mittainen metallitanko on toisesta päästä kiinnitetty seinään saranalla ja toisesta päästä tuettu metallikaiteeseen. Kuinka suuri voima kaiteeseen kohdistuu, kun tangon massa on 8,0 kg?
Vipuvarret ovat eri mittaiset.
Ratkaisu: Ilman kaiteen tukea metallitanko kiertyisi saranan ympäri, sillä sen paino aiheuttaa tankoon momentin. Metallitangon paino vaikuttaa tangon keskipisteeseen (massakeskipiste) ja painovoimavektori on kohtisuorassa vipuvartta vasten. Jos tangon pituus on l, siihen vaikuttava painovoiman momentti on
Kaiteen täytyy tasapainottaa tämän momentin kiertovaikutus, jotta tanko pysyy paikallaan. Kaide kohdistaa tankoon ylöspäin suuntautuvan voiman F, jonka momentti on:
Momentit vaikuttavat vastakkaisiin suuntiin, joten tasapainoehdosta saadaan
Vastaus: Kaiteeseen kohdistuu noin 39 Newtonin voima. Huomaa, että voiman suuruus ei riipu tangon pituudesta, sillä se supistuu pois laskusta. Huomaa myös kuinka kaiteeseen kohdistuu täsmälleen puolet tangon painosta, 1/2mg.
Esimerkki: Jenni ja Janni leikkivät kiikkulaudalla, joka on tuettu keskikohdastaan. Minne Jannin pitäisi istua, jotta kiikkulauta saataisiin tasapainoon, kun Jenni on istunut laudan päähän? Jennin massa on 40 kg ja Jannin 50 kg.
Janni ja Jenni kiikkulaudalla. Tukivoima (jätetty piirtämättä) kohdistuu tukipisteeseen, jonka kohdalla on myös systeemin kiertoakseli.
Ratkaisu: Merkitään Jennin massaa m1 = 40 kg ja etäisyyttä kiertoakseliin l1, Jannin massa on m2 = 50 kg ja etäisyys kiertoakselista l2. Lankun pituutta ei ole annettu, joten vastaukseksi tulee osuus lankun pituudesta, esimerkiksi prosentteina.
Janni ja Jenni aiheuttavat omat momenttinsa kiertoakselin suhteen, toinen myötäpäivään ja toinen vastapäivään. Tilanteessa on lisäksi periaatteessa mukana myös lankun painon aiheuttama momentti, mutta koska lankun painovoimavektori kulkee tukipisteen kautta, sen aiheuttama momentti on nolla. (Toinen tapa sanoa sama asia on ajatella kiertoakselin molemmin puolin olevia lankun osia erikseen, jolloin niiden momentit ovat yhtä suuret ja vastakkaissuuntaiset.)
Tasapainotilanteessa Jannin ja Jennin momentit toteuttavat skalaarimuotoisen tasapainoyhtälön:
Tästä voidaan ratkaista Jannin sijainti lankulla l2:
Vastaus: Etäisyydet kiertoakselista ovat kääntäen verrannolliset massoihin, eli Jannin tulee sijoittua 4/5 etäisyydelle tukipisteestä.
Toinen laskutapa momentille
Joissakin tilanteissa on helpompaa käyttää voiman momentin laskemiseen vaihtoehtoista tapaa, joka antaa saman tuloksen. Sen sijaan, että kiertävä voima jaetaan vipuvarren suuntaiseen ja vipuvartta vasten kohtisuoraan osaan, voidaan komponentteihin jako jättää tekemättä, jos voiman vaikutussuorasta poimitaan kohtisuora etäisyys kiertoakseliin. Matemaattisesti tästä seuraa samat yhtälöt ja joissain tapauksissa tämä voi olla nopeampi reitti lopputulokseen.
Momentti voidaan laskea myös kohtisuoran etäisyyden r avulla.
Oheisessa kuvassa vääntävän voiman vaikutussuoraa on jatkettu katkoviivalla ja poimittu tämän vaikutussuoran kohtisuora etäisyys kiertoakselista. Se voidaan kirjoittaa vipuvarren l ja kulman α avulla:
Nyt momentin suuruudeksi saadaan
Voit tarkistaa, että saisit saman tuloksen voiman F pystysuuntaisen komponentin avulla.
Esimerkki: Kahden metrin mittainen lipputanko (massa 8 kg) on seinässä kiinni saranalla ja sen yläpää on kiinnitetty vaijerilla seinään kuvan mukaisesti. Laske vaijerin jännitysvoiman ja saranaan kohdistuva voiman suuruudet.
Lipputanko kiinnitetty saranalla ja vaijerilla.
Lipputankoon vaikuttavat voimat.
Ratkaisu: Piirretään lipputankoon vaikuttavat voimat: painovoima, vaijerin jännitysvoima ja seinän tukivoima saranan kohdalla.
Koska lipputanko on paikallaan, tiedämme että siihen vaikuttavien voimien summa on nolla (Newton I). Samoin tiedämme, että siihen vaikuttavien momenttien summa on nolla. Tiedämme vain painovoiman suuruuden, joten aloitetaan momenttiehdosta ja ratkaistaan vaijerin jännitysvoiman suuruus. Tehdään se tällä kertaa etsimällä vaikuttavien voimien kohtisuora etäisyys kiertoakselista A. Voiman F vaikutussuora kulkee kiertoakselin kohdalla, joten sillä ei ole vääntövaikutusta. Tarvitsemme siis vain painovoiman ja vaijerin jännitysvoiman kohtisuorat etäisyydet, jotka saadaan trigonometristen funktioiden avulla (merkitään lipputangon pituutta l = 2 m):
Tästä ratkaistaan etäisyydet
Näiden avulla voimme kirjoittaa myötä- ja vastapäivään vaikuttavat voiman momentit, jotka ovat yhtä suuret, sillä tanko ei kierry. Yhtälöstä ratkaistaan jännitysvoiman T suuruus:
Tarvitsemme vielä saranaan kohdistuvan voiman suuruuden. Tämä on saranan tankoon kohdistavan tukivoiman vastavoima, joten se on samansuuruinen kuin F. Koska lipputangolla ei ole kiihtyvyyttä, siihen vaikuttava kokonaisvoima on nolla. Vektoriyhtälönä:
Tukivoima on siis samansuuruinen (ja vastakkaissuuntainen) kuin painon ja jännitysvoiman resultanttivoima. Sen suuruus voidaan laskea suorakulmaisen kolmion hypotenuusana, kuten aiemminkin (tukivoima voidaan kirjoittaa painon avulla kuten ylempänä):
Vastaus: Vaijerin jännitysvoima on noin 33 N ja saranaan kohdistuva voima noin 85 N. Saranaan kohdistuvan voiman laskeminen on jonkin verran yksinkertaisempaa tällä tavalla verrattuna komponentteihin jakoon.
Kappaleen painopiste
Kaikki kappaleet koostuvat rakenneosasista. Kun puhutaan esimerkiksi kappaleen painosta, se on monimutkainen summa kappaleen rakenneosasten painoista ja vuorovaikutusenergioista. Tätä summaa olisi mahdoton laskea, mutta meidät pelastaa se, että voimme käsitellä kappaletta yhtenä objektina, jonka paino on mitattava ominaisuus.
Kun kappaleen painoa käytetään laskuissa, sen ajatellaan olevan yksi voimavektori. Tämä voimavektori lähtee kappaleen painopisteestä. Painopisteen paikka muodostuu fysikaalisesti rakenneosien painovoimavektorien keskiarvona. Tämä voidaan yksinkertaisissa tapauksissa laskea ja se voidaan mitata yksinkertaisella kokeella.
Jos tuet kappaletta alapuolelta yhdestä pisteestä (esimerkiksi tarjotin sormen päällä), löydät yhden kohdan, josta tuettuna kappale pysyy paikallaan. Kun tuet kappaletta sen painopisteen kohdalta, siihen vaikuttava painovoiman momentti kulkee tukipisteen kautta. Tämä on ainoa tilanne, jossa momentista tulee nolla (vain tällöin vipuvarren pituus on nolla).
Ajatus kappaleen tukemisesta painopisteen kohdalta auttaa monissa statiikan laskuissa. Tämä johtuu siitä, että voimme usein korvata useasta kappaleesta (ja niiden painovoimavektoreista) koostuvan systeemin yhdellä isolla kappaleella (ja sen painovoimavektorilla). Näin ajateltuna tämä iso kappale on kiertymättä vain silloin, kun sitä tuetaan sen painopisteen kohdalta. Tästä on hyötyä, sillä painopisteen laskeminen on usein helpompaa kuin monimutkainen momenttien summa.
Painopisteen määrittäminen
Kappaleen painopisteen sijainti on helppo laskea silloin, kun se koostuu homogeenisesta eli tasalaatuisesta materiaalista. Kun materiaalin tiheys on vakio, kappaleen painopiste on sen keskipiste (keskiarvo kaikista sen pisteistä). Keskipisteen paikka saadaan määritettyä tuttujen geometrian laskusääntöjen avulla.
Tasalaatuisen ja tasapaksun suorakulmion mallisen kappaleen painopiste on lävistäjien leikkauspisteessä.
Tasapaksun kolmion mallisen kappaleen painopiste on kärkipisteistä vastakkaisen sivun keskipisteeseen vedettyjen janojen leikkauspisteessä.
Toinen yksinkertainen tilanne on silloin, kun kappale koostuu osista, joiden painot ja painopisteiden paikat tunnetaan. Tällöin kappaleen painopisteen paikka saadaan painotettuna keskiarvona. Katsotaan tätä esimerkin avulla.
Esimerkki: Metrin mittaisen metallitangon (massa m1 = 3, 0 kg) päissä on kaksi painoa (massat m2 = 1, 0 kg ja m3 = 2, 0 kg). Määritä yhdistelmän painopisteen paikka, eli se piste, josta tukemalla kappale pysyy tasapainossa.
Tanko ei kierry, jos sitä tuetaan yhdistelmän painopisteen kohdalta. Haluamme määrittää tämän pisteen paikan.
Jos kappaletta tuetaan sen painopisteen kohdalta, se pysyy tasapainossa. (Kuvaan on piirretty kuvitteellinen tukivoima tätä kuvaamaan.) Ajatellaan tämä kolmesta kappaleesta koostuva yhdistelmä yhtenä kappaleena, jonka massa on
m = m1 + m2 + m3
Saamme yhdistelmän painovoimavektorin summaamalla sen osien painovoimavektorit:
Kaikki painovoimavektorit osoittavat alaspäin, joten vastaava yhtälö pätee myös skalaarimuodossa. Yhdistelmän painovoimavektori vaikuttaa kappaleen painopisteestä alaspäin, joten se vaikuttaa samaan kohtaan kuin kappaleeseen vaikuttava tukivoima. Myös voiman momentit summautuvat. Yhdistelmän voiman momentti minkä tahansa kiertoakselin suhteen on sen rakenneosien momenttien summa. Tässä tapauksessa kolmelle rakenneosalle saadaan yhtälö:
Katsotaan tässä tapauksessa momentteja tangon vasemmassa päässä olevan kiertoakselin suhteen, jolloin ne kaikki kiertävät tankoa samaan suuntaan ja momenttiyhtälö voidaan kirjoittaa skalaarimuodossa:
Putoamiskiihtyvyys g supistuu pois laskusta ja meillä jää kappaleiden massat ja vipuvarret. Tästä voimme ratkaista painopisteen paikan:
Painopisteen paikka on massoilla painotettu keskiarvo rakenneosien paikoista. Tämä on yleinen tulos ja pätee mille tahansa määrälle rakenneosia (kunhan rakenneosien väliset vuorovaikutusenergiat jätetään huomiotta).
Kolmen kappaleen yhdistelmä voidaan ajatella yhtenä kappaleena. Yhdistelmän painopiste (etäisyys l vasemmasta reunasta) saadaan laskettua osien paikkojen ja massojen avulla.
Tässä esimerkissä painot ovat tangon päissä, joten toinen niistä on valitsemamme kiertoakselin kohdalla, eli l2 = 0. Tiedämme kappaleiden massat, joten voimme nyt laskea esimerkkisysteemimme painopisteen paikan edellistä yhtälöä käyttäen:
Tangon tukipiste on sen puolivälissä l1 = 0, 50 m ja toinen painoista on tangon päässä l3 = 1, 0 m. Sijoitetaan tunnetut suureet ja saadaan painopisteen paikka:
Vastaus: Systeemin painopiste on noin 0,58 m kevyemmästä painosta lukien, eli tangon keskipisteestä noin 8 cm painavampaa painoa kohti. Kun tankoa tuetaan tästä kohdasta, se ei kierry.
Tehtävät
Malliratkaisut PDF:nä oheisesta linkistä
Klikkaa tehtävää nähdeksesi vastauksen
T1. Tasapaksu tanko, jonka massa on 660 g, ripustetaan roikkumaan kohdasta, joka on 16 cm etäisyydellä toisesta päästä. Ripustuskohdan ja tangon pään puoleen väliin ripustetaan punnus. Mikä punnuksen massa tulisi olla, jotta tanko olisi tasapainossa pyörimisen suhteen? Tangon pituus on 96 cm.
Vastaus: 2,6 kg
T2. Yläpuolisessa systeemissä kappaleen A massa on 2.5 kg. Kappale A on 33 cm päässä laudan keskikohdasta ja kappale B 18 cm päässä keskikohdasta. Lauta on tasapainossa ilman kappaleita. Mikä on kappaleen B massa?
Vastaus: 4,6 kg
T3. Kappaleiden massat ja A-kappaleiden etäisyys ovat kuten tehtävässä 2. Mihin kohtaan kappale B tulee sijoittaa, jotta systeemi on tasapainossa?
Vastaus: 36 cm
T4. Liisa-Petteri perusti yrityksen. Hän ripusti mainoskyltin seinään. Kyltti roikkuu tangon nokassa ja tangon massa on 4.0 kg. Tanko on 54 cm pitkä. Tankoa kannattelee seinään vedetty vaijeri. Tangon ja vaijerin välinen kulma on α=30° Vaijerin jännitysvoima on 82 N. Mikä on kyltin massa?
Vastaus: 2,2 kg
T5. Kuinka suuri momentti saadaan mutteriin, kun kiintoavaimen pituus on 27 cm ja sen päähän kohdistetaan 250 newtonin voima?
67,5 Nm
T6. Polkupyörän ohjainkannattimen kuusiokoloruuvit saa kiristää korkeintaan 6 Nm:n momenttiin. Kuinka suurella kohtisuoralla voimalla kuusiokoloavainta saa vääntää, kun avaimen pituus voiman vaikutuspisteeseen asti on 12 cm?
50 N
T7. Metallitanko on kiinnitetty toisesta päästään saranalla kiinni. Tankoa kannateltiin eri etäisyyksiltä r (saranasta mitattuna) ja mitattiin kulloinkin tangon vaakasuorassa pitämiseen tarvittava voima F.
a) Määritä graafisesti momentti, jolla tanko pysyy vaakasuorassa.
b) Kuinka suuri on metallitangon massa, kun sen pituus on 0,50 metriä?
a) 4,1 Nm
b) 1,7 kg
T8. Kiveä nostettiin ilmaan rautakangella, joka tuettiin alapuolelta pienemmällä kivellä. Työmies painaa rautakankea toisesta päästä alaspäin koko painollaan. Tukipisteen etäisyys kivestä on 23 cm ja rautakangen pituus 1,5 metriä. Kuinka suuri massa pitää työmiehellä olla, jotta kivi nousisi kuopastaan? Kiven liikuttamiseen tarvitaan 3200 newtonin kankea vastaan kohtisuora voima ja rautakanki muodostaa 35 asteen kulman vaakasuoran kanssa. Rautakangen massaa ei huomioida.
72 kg
T9. Lauta on kiinnitetty naulalla pisteestä P ja lautaan kohdistuu kaksi voimaa: 49 cm:n päässä F1=39 N vasemmalle ja 93 cm:n päässä F2=56 N alaspäin. Laske lautaan kohdistuva kokonaismomentti pisteen P suhteen. Ilmoita myös momentin suunta.
23 Nm myötäpäivään
T10. Maija ja Timo rakensivat keinulaudan tasapaksusta ja tasaleveästä lankusta ja tukista. Mihin kohtaan keinulaudan alle tukki on laitettava, jotta lankku olisi vaakasuorassa, kun lapset istuvat lankun päissä? Maijan massa on 28 kg, Timon massa on 17 kg ja lankun massa on 11 kg. Lankun pituus on 3,2 m. (YO k-2018)
Tukki on laitettava 1,9 metrin päähän Timosta
T11. Tasapaksu, vaakasuora palkki (m = 20kg, l = 4,0 m) lepää päistään kahden tuen varassa, ja siihen on ripustettu kappale roikkumaan kuvan mukaisesti. Kappaleen massa on 5,0 kg, ja sen etäisyys 1,5 metriä toisesta päästä. Laske palkin päihin vaikuttavat tukivoimat.
Tukivoimien suuruudet ovat 120 N ja 92 N.
T12. Tasapaksu lankku (m=16,5 kg; L=4,5m) nojaa sileään seinään (kaltevuuskulma on 29 astetta). Lankun ja maan välinen lepokitkakerroin on 0,80, kun taas lankun ja seinän välinen kitka on mitättömän pieni. Poika (m=21 kg) lähtee hitaasti kiipeämään lankkua pitkin ylöspäin. Kuinka pitkälle hän pääsee, ennen kuin lankku romahtaa alas. (YO k-2003)
Poika pääsee 1,8 metriä lankun alareunasta ennenkuin lankku romahtaa alas