Kvanttimaailma
1900-luvulle tultaessa uskottiin valon olevan vesiaaltojen tapaista aaltoliikettä ja aineen koostuvan kovista biljardipallomaisista hiukkasista. Ensin muuttui käsitys sähkömagneettisesta säteilystä: sillä huomattiin olevan hiukkasominaisuuksia. Luonnon symmetrisyydestä osattiin arvailla, että ehkä hiukkasillakin on siten aalto-ominaisuuksia - ja niin vain nekin löydettiin 1920-luvun loppupuolella.
Kaksi luonnon hyvin erilaista rakennuspalikkaa, aallot ja hiukkaset, ovatkin huomattavasti lähempänä toisiaan kuin aiemmin oli uskottu. Tämä yksinkertaistaa luonnon kuvailua, sillä samanlaiset periaatteet ja yhtälöt pätevät molemmille, mutta samalla se hankaloittaa intuitiolle perustuvaa fysiikan konkreettista hahmottamista. Moderni fysiikka onkin klassiseen fysiikkaan verrattuna abstraktia, ja sen ymmärtäminen edellyttää entistä enemmän matematiikan kielen käyttöä.
Valon kvanttiluonne
1800-luvun lopulla sähkömagneettisia ilmiöitä oli opittu kuvaamaan niin kutsutuilla Maxwellin yhtälöillä. Yhtälöt kuvaavat aaltojen liikettä ja niitä käytetään edelleen silloin, kun valoa mallinnetaan aaltoina.
Jo tuolloin oli kuitenkin tiedossa muutamia kokeellisia tuloksia, joita valon aaltomalli ei kyennyt selittämään. Klassisen teorian ennusteet mustan kappaleen säteilystä ja valosähköisestä ilmiöstä menevät vikaan, joten näitä ilmiöitä kuvaamaan tarvittiin täysin uudenlaisia malleja.
Sähkö- ja magneettikenttää kuvaavat Maxwellin yhtälöt, joihin törmäät mahdollisissa jatko-opinnoissasi:
Mustan kappaleen säteily
Tiedämme millaiset kappaleet ovat mustia - sellaiset, jotka eivät heijasta minkään näkyvän valon aallonpituuden valoa. Ideaali musta kappale imee, eli absorboi, kaiken siihen osuvan säteilyn. Kun aine absorboi valoa, sen sisäenergia nousee. Tämä ei tietenkään jatku rajattomasti, vaan musta kappale alkaa myös lähettää, eli emittoida, säteilyä ympäristöönsä. Myös emissiota tapahtuu kaikilla aallonpituuksilla. Säteilyä emittoituu sitä enemmän, mitä suurempi on kappaleen lämpötila, joten jossain vaiheessa saavutetaan lämpöopillinen tasapainotila, jossa säteilyä emittoituu yhtä paljon kuin absorboituu ja kappaleen lämpötila pysyy vakiona.
Ideaalinen musta kappale on malli, joka voidaan matemaattisesti rakentaa eri tavoin ja jonka ominaisuuksia voidaan näin ennustaa. Lähes ideaaleja mustia kappaleita voi tehdä laboratoriossa, mutta riittävän hyviä esimerkkejä löytyy myös lunnosta. Esimerkiksi Auringosta tulevan säteilyn aallonpituusjakauman, eli spektrin, voi mitata, ja tulos vastaa melko hyvin mustan kappaleen spektriä.
Ulkoilmasta mitattu Auringon säteilyspektri näkyvän valon aallonpituusalueella. Kiinnitä huomiota erityisesti spektrin muotoon eri aallonpituuksilla.
Vertaamalla mitattuja spektrejä mallien ennusteisiin voidaan huonot mallit erottaa hyvistä. Tässä juuri piilee mustan kappaleen säteilylain merkitys fysiikan historiassa: klassisen fysiikan ennuste menee täysin pieleen lyhyillä aallonpituuksilla. Siitä voi päätellä, että klassisen fysiikan aaltokuvausta pitää joko korjata, tai sen paikalle täytyy luoda kokonaan uusi, parempi teoria.
Valon klassisen aaltomallin heikkous on siinä, että aaltojen intensiteetti riippuu niiden energiasta. Mitä lyhyempiä aallonpituuksia tarkastellaan, sitä suurempi on energia, ja sitä kautta myös säteilyn intensiteetti. Verrannollisuus on muotoa
joten kun aallonpituus λ menee lähelle nollaa kasvaa intensiteetti rajattomasti.
Minkä tahansa teorian antama ennuste äärettömästä suureen arvosta on merkki teorian soveltuvuusalueen ylittämisestä.
Mustan kappaleen ongelma oli hyvin tiedossa 1800-luvun loppupuolella ja Max Planck löysi siihen ratkaisun vuonna 1900. Planck keksi, että jos musta kappale absorboi ja emittoi valoa ainoastaan energialtaan tietyn suuruisina paketteina, eli kvantteina, saadaan lyhyiden aallonpituuksien ongelma ratkaistua. Planck palkittiin työstään Nobelin fysiikan palkinnolla vuonna 1918.
Klassinen valon aaltomalli epäonnistui ennustamaan mustan kappaleen spektrin muodon lyhyillä aallonpituuksilla.
Max Planck (1858-1947)
Planckin mallissa kvantit syntyvät systeemin siirtyessä korkeammalta energiatilalta matalammalle energiatilalle. Suurienergisimmät siirtymät ovat kaikkein epätodennäköisimpiä, joten mitä lyhyempiä aallonpituuksia tarkastellaan, sitä epätodennäköisempiä ovat ne siirtymät, jotka näitä kvantteja aikaansaavat.
Planck tarvitsi mallissaan aikaisemmin tuntemattoman luonnonvakion, joka kuvaa pienimmän mahdollisen kvantin kokoa. Vakiota kutsutaan Planckin vakioksi ja se yhdistää valon taajuuden (ja aallonpituuden) sen energiaan
Planck otti samassa julkaisussa käyttöön myös niin kutsutun Boltzmannin vakion. Selvitä mitä tämä vakio mittaa.
missä c on valonnopeus. Planckin vakion (tarkka) arvo on
joka on niin äärimmäisen pieni, että sen vaikutuksia on hankalaa mitata, kuten esimerkkien avulla pian näemme. Planckin malli ratkaisi mustan kappaleen säteilymallin lyhyiden aallonpituuksien ongelman, mutta jätti ilmaan kysymyksen siitä mitä nämä Planckin esittämät kvantit oikein ovat?
Valohiukkaset
Planckin teoria avasi tien Albert Einsteinille, joka kirjoitti viisi vuotta myöhemmin teorian valohiukkasista, eli fotoneista. Einsteinin mukaan oikealla tavalla katsottuna valo ei olekaan aaltoliikettä, vaan koostuu pistemäisistä hiukkasista, joiden energia on Planckin yhtälön mukainen. Esimerkiksi monokromaattisen valon (taajuus f) kvanteilla on siis kaikilla sama energia hf.
Jos siis ajatellaan esimerkiksi punaisen valon kvanttia, jonka aallonpituus on noin 700 nm, tulisi sen energiaksi noin
Albert Einstein (1879 - 1955)
Yksittäisellä punaisen valon fotonilla on siis aivan käsittämättömän vähän energiaa, joten ei ole ihme ettei niitä löydetty aiemmin. Einsteinin esittämä valon hiukkasmalli selitti niin kutsutun valosähköisen ilmiön ja vakuutti nekin alan tutkijat, jotka vielä ennen tätä epäilivät Planckin analyysin merkitystä. Einsteinin 1905 julkaiseman valosähköilmiötä koskevan julkaisun jälkeen kvanttivallankumous lähti toden teolla käyntiin.
Ei kannata kuitenkaan ajatella, että valon aaltomalli olisi virheellinen ja hiukkasmalli olisi jotenkin korvannut sen. Kuten jokaisella muullakin mallilla, sillä on soveltuvuusalue, joka ei ulotu lyhyille aallonpituuksilla. Valon hiukkasteorian soveltuvuusalue on laajempi kuin aaltomallin, mutta se kumpaa mallia kannattaa käyttää riippuu tilanteesta.
Tilannetta voi verrata vaikkapa televisiokuvaan. Näet televisiossa jatkuvia kuvioita, vaikka tiedätkin, että kuvaruutu koostuu pikseleistä. Kun katsot riittävän kaukaa, pikseleitä ei näy, mutta riittävän läheltä katsottaessa ne kyllä erottuvat. Valoaallon voi kuvitella koostuvan fotoneista samalla tapaa kuin vesiaallonkin voi kuvitella koostuvan vesimolekyyleistä. Vesiaaltojen käsitteestä ei ole luovuttu molekyylien löytymisen jälkeen, eikä niin ole tehty valoaaltojenkaan kohdalla.
Fysikaalisen maailmankatsomuksen kannalta löytö on kuitenkin merkittävä. Koska ajattelemme maailmamme rakentuvan pienistä rakenneosista, on todella tärkeä tietää minkälaisia nämä rakenneosat ovat, sillä ne vaikuttavat kaikkeen. Pikselimäinen maailma on erilainen kuin jatkuvista aalloista koostuva maailma, mutta kuten kohta nähdään, tämä tarina ei ole vielä valmis.
Esimerkki: Kuinka monta punaisen valon fotonia tarvitaan lämmittämään 1,0 kilogrammaa vettä yhdellä asteella? Jos ottaisimme yhtä monta vesimolekyyliä, mitä saisimme niiden massaksi?
Ratkaisu: Selvitetään ensin kuinka paljon energiaa tarvitaan veden lämmittämiseen. Veden ominaislämpökapasiteetista c = 4, 182 kJ/(kg·K) näemme yhden kilogramman tarvitsevan 4,182 kJ energiaa lämmetäkseen yhdellä asteella.
Seuraavaksi pitää selvittää kuinka monta punaisen valon fotonia vastaa tätä energiaa. Otetaan aallonpituudeksi λ = 700 nm, jolloin N kappaletta fotoneita vastaa energiaa
Energian täytyy olla 4,182 kJ, joten voimme ratkaista yhtälöstä fotonien määrän
Lukumäärä vaikuttaa suurelta, mutta fotonit eivät ole kovin konkreettisia, joten lasketaanpa mikä olisi vastaavan vesimäärän massa.
Veden moolimassa löytyy taulukkokirjoista, se on
Yhdessä moolissa (mol) on Avogadron vakion (NA) verran molekyylejä.
Moolimassat annetaan moolien avulla, joten lasketaan lukumäärää N vastaava ainemäärä
Tästä saamme vesimäärän massaksi
Vastaus: Punaisen valon fotoneita tarvitaan noin 1,47 · 10²² kpl. Yhtä monen vesimolekyylin massa olisi noin 0,44 g.
Wienin siirtymälaki
Palataan vielä hetkeksi mustan kappaleen säteilylakiin. Planckin teoriassa keskeistä osaa näyttelee säteilevän kappaleen lämpötila, sillä eri lämpötiloissa olevien kappaleiden spektrit ovat erilaiset.
Jos poimimme Planckin ennustamasta jakaumasta intensiteettimaksimia vastaavan aallonpituuden λmax, voimme laskea kappaleen lämpötilan Wienin siirtymälain avulla
missä b on jakaumalle ominainen vakio, jonka arvo on noin b ≈ 2,8978 · 10⁻³ Km. Tästä nähdään, että pienimpiä aallonpituuksia vastaavat korkeimmat lämpötilat. Esimerkiksi soveltamalla Wienin siirtymälakia Auringosta mitattuun säteilyspektriin (kuva kappaleen alussa), voidaan Auringon pintalämpötilan arvioida olevan noin 5800 K.
Tarkin luonnosta mitattu musta ”kappale” on kosminen taustasäteily, jonka intensiteettimaksimi vastaa Wienin siirtymälain mukaista lämpötilaa 2,7260 ± 0,0013 K. Taustasäteily on tätä muotoa, koska sen syntyessä on vallinnut termodynaaminen tasapaino. Parempi nimi säteilylle tässä tapauksessa voisikin olla esimerksi termodynaamisen tasapainon säteily. Syntyessään kosmisen taustasäteilyn lämpötilan arvioidaan olleen noin 3000 K - maailmankaikkeus on siis viilentynyt samalla kun se on laajentunut.
Lämpimämpien mustien kappaleiden spektrin maksimi on lähempänä y-akselia.
Kosmisen taustasäteilyn spektri noudattaa täsmälleen mustan kappaleen säteilylakia. (kuva: Public domain)
Poimitaan vielä kiinnostava yksityiskohta tästä koko maailmankaikkeuden täyttävästä säteilystä: lämpötilan avulla on nimittäin mahdollista arvioida säteilyn sisältämän fotonikaasun tiheyttä. Tulokseksi saadaan noin 400-500 miljardia fotonia kuutiometrissä.
Valosähköinen ilmiö
Mustan kappaleen säteilylakia johtaessaan Planck oletti, että tilojen välisiä siirtymiä vastaavat energiaerot ovat kvantittuneet, eli ne saavat vain diskreettejä arvoja. Einstein otti tämän tuloksen ja sanoi, että tämä erotus säteillään pois valohiukkasena, eli fotonina. Fotoni on massaton hiukkanen, joka kulkee aina (kaikkien havaitsijoiden suhteen) valonnopeudella. Sen sähkövaraus on nolla, minkä voi todentaa esimerkiksi osoittamalla laservalon sähkökentän poikki ja huomaamalla, että sen suunta ei muutu. Fotonin energia saadaan Planckin kirjoittamasta yhtälöstä
E = hf ,
jonka lisäksi fotonilla on myös liikemäärää
Fotonin energian ja liikemäärän välillä pätee siis suhde
E = pc
Einstein käytti fotonia niin kutsutun valosähköisen ilmiön selittämiseen ja hänet palkittiin tästä saavutuksesta fysiikan Nobelpalkinnolla vuonna 1921.
Ilmiö oli havaittu jo 1887, mutta sitä ei kyetty selittämään klassisella valon aaltomallilla. Jos sähköisesti varattuun levyyn osuu valoa, siitä irtoaa elektroneja tietyillä ehdoilla. Metalleissa on paljon vapaasti liikkuvia elektroneja, joiden irtoamisen voi päätellä esimerkiksi levyn sähkövarausta tarkkailemalla. Levystä irronneiden elektronien saama liike-energia voidaan mitata ja sen avulla päätellä miten valo vuorovaikuttaa elektronien kanssa.
Klassisen teorian ennustus tässä tapauksessa on, että mitä suurempi on valon intensiteetti, sitä suuremman liike-energian elektronit saavat. Todellisuudessa käy kuitenkin niin, että elektronien saama energia riippuu käytetyn valon taajuudesta, ei intensiteetistä. Jos taajuus on liian pieni elektronien irrottamiseen metallista, ei valon intensiteetin lisäämisellä ole mitään vaikutusta.
Valon kvanttiteoria selittää ilmiön vaivatta. Metallilevyllä olevien elektronien irrottamiseksi pitää tehdä työtä. Elektronit voivat olla eri tavoin sitoutuneita, mutta valitaan niistä helpoiten irtoavat ja kutsutaan niiden irrottamiseen tarvittavaa työtä irrotustyöksi W₀. Valon hiukkaskuvauksessa fotoni voi vuorovaikuttaa elektronin kanssa ja luovuttaa sille energiaa. Jos fotonin energia on irrotustyötä pienempi, mitään ei tapahdu, mutta jos sen taajuus on kyllin suuri elektroneja irtoaa. Pienintä mahdollista irrotukseen riittävää taajuutta kutsutaan rajataajuudeksi f₀ ja sille pätee
Metallilevystä irtoaa elektroneja vain, jos käytetyn valon aallonpituus on riittävän lyhyt.
Mitä enemmän rajataajuuden ylittäviä fotoneja on, sitä enemmän elektroneja irtoaa. Monokromaattisen valon intensiteetti ei siis vaikuta siihen irtoaako elektroneja vai ei, vaan siihen kuinka paljon elektroneja irtoaa aikayksikköä kohden.
Irrotustyö on erisuuruinen eri metalleille. Luokkahuoneissa ilmiötä demonstroitaessa käytetään yleensä sinkkilevyä, jonka irrotustyö on sellainen, että näkyvän valon taajuus on pienempi kuin rajataajuus. Näkyvä valo ei siis irrota levystä elektroneja, mutta korkeampitaajuuksisella UV-valolla irrotus onnistuu.
Joillakin muilla aineilla, erityisesti piillä, irrotustyö on riittävän pieni, jotta myös näkyvä valo voi irrottaa siitä elektroneja. Kun auringonvalon tekemä elektronien irrotus yhdistetään sopivasti puolijohdetekniikkaan, saadaan auringonvalon fotonien energiaa muutettua sähköenergiaksi. Tähän perustuu aurinkokennoista koostuvien aurinkopaneelien toiminta sähköntuotannossa.
Elektronien saaman liike-energian mittaus
Irronneiden elektronien liike-energia voidaan mitata hidastamalla niitä sähkökentässä, jolloin elektronin liike-energia muuttuu sähköiseksi potentiaalienergiaksi. Sähkökurssilla opimme, että varaukselliseen hiukkasen liikuttamiseen sähkökentässä liittyy työ, jonka suuruus on
W = qU,
missä q on hiukkasen varaus ja U on kahden pisteen välinen (sähköinen) potentiaaliero. Asetetaan sähkökenttä kahden johdinlevyn väliin ja säädetään levyjen välistä jännitettä U. Etsitään suurin jännite, jolla toiselta levyltä irtoavien nopeimpien elektronien liike-energia juuri ja juuri riittää potentiaalieron voittamiseen. Tällöin näiden elektronien maksimiliike-energia on yhtä suuri kuin sähkökentässä tehty työ, ja saadaan
Emax = eU
Mittaamalla elektronien saamat maksimiliike-energiat eri valon taajuuksilla saadaan kokeellisesti määritettyä Planckin vakion arvo.
Planckin vakion määritys
Tehdään seuraavanlainen koejärjestely: vaihdellaan käytetyn valon taajuutta ja mitataan metallista irronneiden elektronien maksimiliikeenergia edellä mainitulla tavalla. Jos käytetyn valon taajuus on suurempi kuin rajataajuus, kuluu osa fotonien energiasta irrotustyöhön ja jäljellä jäävä energia voi muuttua elektronin liike-energiaksi. Energian säilymislain mukaan saadaan siis siinä tapauksessa, kun fotoni luovuttaa kaiken energiansa elektronille
Irrotustyö on määritelty positiiviseksi. Joskus työ määritellään negatiiviseksi, joten ole tarkkana miten se on missäkin tapauksessa määritelty.
Kirjoittamalla yhtälön termit eri järjestykseen, saadaan mitattujen suureiden (f, Emax) avulla kirjoitettu suoran yhtälö
Mittaamalla parit (f,Emax) asettuvat pisteet koordinaatistossa suoralle, jonka kulmakerroin on Planckin vakio h ja (negatiiviselta puolelta löytyvä) y-akselin leikkauspiste on irrotustyö W₀.
Planckin vakion määrittäminen valosähköisen ilmiön avulla
Yläpuolisen kuvan mittauksessa on käytetty elektronin energialle yksikkönä elektronivolttia, jolloin Planckin vakiokin tulee elektronivoltien avulla
Irrotustyöstä voidaan taulukkokirjan avulla päätellä, että käytetty metalli oli sinkkiä. Käytetyt valon taajuudet ovat UV-alueella.
Comptonin sironta
Kolmas kuuluisa valon hiukkasluonteen osoittava ilmiö on Arthur Comptonin vuonna 1923 löytämä Comptonin sironta, jossa valo muuttaa suuntaansa vuorovaikutuksessa elektronin kanssa.
Kuten muistamme, klassinen aaltomalli ennustaa, että valon taajuus ei muutu silloin, kun valo taipuu. Comptonin kokeessa valo kulkee alussa ja lopussa samassa väliaineessa, joten myöskään sen aallonpituuden ei pitäisi muuttua, mutta todellisuudessa käykin niin, että mittauksessa se muuttuu. Klassinen teoria on jälleen vaikeuksissa, ja valon kvanttiteoria tarjoaa fysikaalisen selityksen lisäksi myös kokeellisia havaintoja vastaavan laskennallisen ennusteen.
Arthur Holly Compton (1892-1962)
Comptonin sironnassa fotonilla on aluksi energia
Se vuorovaikuttaa elektronin kanssa, jolloin sen energia pienenee
ja sen kulkusuunta muuttuu kulman θ verran. Valon taajuus ja siten myös sen aallonpituus siis muuttuu sironnassa.
Elektronin saama liike-energia on energian säilymislain mukaan
jonka lisäksi Compton johti havaintoja vastaavan lausekkeen fotonin aallonpituuksien ja sirontakulman θ välille
Comptonin sironta, jossa fotonin energia muuttuu, on esimerkki epäelastisesta sironnasta. Vastaavaa ilmiötä, jossa fotonin energia ei muutu, kutsutaan elastiseksi sironnaksi. Esimerkiksi taivaan sininen väri on seurausta valon elastisesta sironnasta ilmakehässä.
Miten valon klassinen teoria ja valon kvanttiteoria pystyvät selittämään elastista ja toisaalta epäelastista sirontaa?
Comptonin sironta muodosti yhdessä mustan kappaleen säteilylain ja valosähköisen ilmiön kanssa kiistattoman todistusaineiston valon hiukkasominaisuuksista. Oli selvää, että valolla on sekä hiukkasmaisia ominaisuuksia, että aaltomaisia ominaisuuksia (esim. diffraktio). Tämä herätti luonnollisesti kysymyksen siitä onko muillakin hiukkasilla aalto-ominaisuuksia, eikä vastausta tarvinut kauaa odotella.
Tehtävät
1. Auringon pintalämpötila on 5800 K ja sen säteilyn aallonpituus intensiteettimaksimin kohdalla on 500 nm. Lake ylijättiläistähti Rigelin lämpötila kun sen intensiteettimaksimia vastaava aallonpituus on puolet Auringon aallonpituudesta?
11600 K
2. Kosmisen taustasäteilyn aallonpituusjakauma vastaa mustan kappaleen säteilyä, jonka lämpötila on 2,73 K. Mitä säteilylajia taustasäteily on?
1,06 mm
Taustasäteily on mikrosäteilyä.
3. Erään langattoman puhelimen käyttämä taajuus on 5,8 GHz.
a) Ratkaise taajuutta vastaava aallonpituus.
b) Laske yhden fotonin liikemäärä.
c) Laske yhden fotonin energia jouleissa.
d) Mikä on energia elektronivolteissa?
a) 5,2 cm
b) 1,3 · 10⁻³² kg · m/s
c) 3,8 · 10⁻²⁴ J
d) 2,4 · 10⁻⁵ eV
4. Mikroaaltouuni tuottaa 5.5 · 10²⁶ fotonia sekunnissa joiden taajuus on 2,45 GHz. Lämmität uunissa 400 g huoneenlömpöistä hernekeittoa lämpötilaan 55 °C. Kuinka kauan keittoa pitää lämmittää? Voit olettaa, että uunin tuottama säteily absorboituu kokonaisuudessaan keittoon, ja keiton ominaislämpökapasiteetiksi c = 4186 J/(kg·K).
66 s
5. Silmän verkkokalvon valoherkkä retinaali-molekyyli muuttaa muotoaan valon vaikutuksesta. Retinaalin cis-sidos muuntuu transsidokseksi ja käynnistää reaktioketjun joka synnyttää sähköimpulssin ja tuottaen näköaistimuksen. Laske pisin aallonpituus jonka silmä voi nähdä kun reaktio vaatii vähintään 164 kJ/mol energian käynnistyäkseen.
730 nm
6. Metallin irroitustyö on 3,0 eV. Mikä on pisin mahdollinen säteilyn aallonpituus jolla metallista irtoaa elektroneja?
410 nm
7. Kromia säteilytetään fotoneilla joiden aallonpituus on 275 nm. Ratkaise kromista irtoavien elektronien maksiminopeus kun materiaalin irroitustyö on WCr = 4,5 eV.
65 km/s
8. Metallia säteilytetään fotoneilla, joiden taajuus on f = 1,62 · 10¹⁵ Hz. Irtoavien elektronien suurimmaksi liike-energiaksi mitataan Ek = 1,7 eV. Ratkaise metallin irroitustyö.
5,0 eV
9. Fotoni, jonka aallonpituus on 0,1 pm siroaa epäelastisesti elektronista. Elektroni on levossa ennen vuorovaikutusta ja saa sironnassa energian Ee = 8,272 MeV. Ratkaise on fotonin aallonpituus vuorovaikutuksen jälkeen.
0,3 pm
10. Laske sirontakulma kun fotonin aallonpituus muuttuu Compton sironnassa ∆λ = 1,2 pm.
60 °