Ympyräliike
Aiemmilla kursseilla on keskitytty suoraviivaiseen liikkeeseen, nyt laajennamme osaamistamme pyörimiseen ja erityisesti ympyräliikkeeseen. Erotetaan ensin toisistaan pyörimisliike ja ympyräliike, sillä ne ovat eri asioita vaikka niillä onkin yhteisiä ominaisuuksia.
Pyörimisliike ja ympyräliike
Pyörimisliikkeessä kappaleen massakeskipisteen ei tarvitse liikkua, vaan kappale pyörii pyörimisakselinsa ympäri. Esimerkiksi maapallo pyörii akselinsa ympäri ja me havaitsemme tämän päivän vaihtumisena yöksi. Pyörimisliikkeessä voidaan ajatella kappaleen asennon muuttuvan, kun sitä katsotaan ulkopuolelta.
Ympyräliikkeessä kappaleen massakeskipiste kiertää ympyrärataa jonkin pisteen ympäri. Esimerkiksi moukarinheittäjän pyörittäessä moukaria ennen heittoa on moukarin kuula likimain ympyräliikkeessä. Jos Maa kiertäisi Aurinkoa ympyräradalla (todellisuudessa rata on ellipsi), olisi se sekä pyörimisliikkeessä että ympyräliikkeessä. Maan (lähes) ympyräliike aiheuttaa vuodenaikojen vaihtelun.
Ympyräliikkeessä kappaleen asennon ei tarvitse muuttua. Esimerkiksi maailmanpyörässä laitteen vaunut ovat koko ajan pystysuorassa, jolloin ne eivät pyöri vaikka ovatkin ympyräliikkeessä. Jos taas katsotaan maailmanpyörän runkoa, johon vaunut on kiinnitetty, on se pyörimisliikkeessä, mutta ei ympyräliikkeessä. Kappaleen osat voivat siis olla yhdenlaisessa liikkeessä ja koko kappale toisenlaisessa liikkeessä. Samalla tavoin paikallaan pyörivän hyrrän lähes kaikki atomit ovat ympyräliikkeessä, mutta itse hyrrä pyörimisliikkeessä.
Pyörimisnopeus, kulmanopeus ja ratanopeus
Sekä pyörimisessä että ympyräliikkessä voidaan määrittää kierrosaika T, jossa on kuljettu yksi kokonainen kierros. Jos pyöriminen tai ympyräliike on tasaista, kierrosaika pysyy vakiona. Nopeasti pyörivällä kappaleella kierrosaika on lyhyt ja hitaasti pyörivällä pitkä. Jos taas haluamme tietää kuinka monta kierrosta tapahtuu sekunnissa, tarvitaan pyörimisnopeus n, joka saadaan kierrosajan käänteislukuna
Jos siis kierrosaika on esimerkiksi T = 2 s, tulee pyörimisnopeudeksi
Tasaisessa pyörimisliikkeessä kulmanopeus saadaan kiertokulman kuvaajan kulmakertoimena.
Nopeasti pyörivällä kappaleella pyörimisnopeus on suuri ja hitaasti pyörivällä pieni. Kierrosajan sijasta käytetään usein kiertokulman muutosnopeutta, eli kulmanopeutta ω. Sen sijaan, että mittaisimme kuinka monta kierrosta sekunnissa tapahtuu, mittaamme kuinka paljon kulma muuttuu yhden sekunnin aikana. Kiertokulma φ mitataan johonkin vertailukohtaan nähden. Jos kappale pyörähtää esimerkiksi puolikkaan kierroksen, on kiertokulman suuruus asteissa ja radiaaneissa
φ = 180° = π
Tavallisesti kiertokulman yksikkönä käytetään asteiden sijasta radiaaneja, joten pitäydytään tästä eteenpäin niissä. Erityistä kiertokulmassa on se, että se ei nollaudu täyden kierroksen jälkeen, vaan esimerkiksi puolentoista kierroksen päästä kiertokulma on
φ = 3π
Kulmanopeus on kiertokulman muutosnopeus. Keskimääräinen kulmanopeus jollakin aikavälillä ∆t on:
Kun pyöriminen on tasaista, on kulmanopeus (samoin pyörimisnopeus) vakio. Jos siis esimerkiksi puolentoista kierroksen kiertämiseen kuluu vaikkapa kaksi sekuntia, saadaan kulmanopeudeksi:
Pyörimisnopeus olisi puolestaan:
Huomaa kuinka molemmilla on sama yksikkö vaikka toinen mittaa kierroksia ja toinen kulmaa. Koska jokaisessa kierroksessa on 2π radiaania, on pyörimisnopeuden ja kulmanopeuden välillä voimassa tulos:
ω = 2πn
Nämä kaksi on siis helppo muuttaa toisikseen tarpeen mukaan.
Ratanopeus
Jos olet kaverisi kanssa karusellissa siten, että toinen teistä on karusellin ulkoreunalla ja toinen lähempänä karusellin keskustaa, on molemmilla teistä sama pyörimisnopeus ja sama kulmanopeus (ja sama kierrosaika). Ulkokehällä olijalla on kuitenkin suurempi ratanopeus, sillä hän liikkuu pidemmän matkan joka sekunti. Jos ajassa ∆t liikutaan ympyrän kaarella matka ∆l, on ratanopeus silloin
Huomaa miten ratanopeus on olemassa vain ympyräliikkeessä oleville kappaleille, ei pyörimisliikkeessä oleville kappaleille. Jos siis esimerkiksi kierrosajassa T = 3,0 s kuljetaan ympyrä, jonka kehän pituus on l = 10,0 m, tulee ratanopeudeksi
Ratanopeus voidaan kirjoittaa pyörimisnopeuden tai kulmanopeuden avulla, sillä ympyräradan säde r, kiertokulma φ (radiaaneissa) ja kiertokulmaa vastaavan kaaren pituus l liittyvät toisiinsa
l = φr
Esimerkiksi jos kiertokulmaksi otetaan koko ympyrä, on kaaren pituus meille tuttu kehän pituus:
l = φr = 2πr
Ympyräliikkeessä radan säde pysyy vakiona, joten ratanopeus voidaan kirjoittaa kulmanopeuden avulla
Näiden kolmen nopeuden välillä pätee siis yhteys
Esimerkki: Polkupyörän renkaan halkaisija on 1, 2 m. Pyöräilijä ajaa 2, 0 km matkan aikaan 5 min 20 s. Määritä renkaan kiertokulma sekä keskimääräinen pyörimisnopeus, keskimääräinen kulmanopeus ja renkaan ulkokehällä olevan pisteen keskimääräinen ratanopeus.
Ratkaisu: Kun pyörä pyörähtää yhden täyden kierroksen, liikkuu pyörä eteenpäin kehän pituuden verran. Lasketaan kehän pituus l ja selvitetään sen avulla kuinka monta kierrosta pyörä on pyörinyt matkan aikana:
Kierrosten määräksi saadaan
Tämän avulla saadaan kiertokulmaksi
Kiertokulma on radiaaneissa. Näiden avulla saadaan keskimääräinen pyörimisnopeus ja kulmanopeus
Lopuksi lasketaan vielä kehän pisteen ratanopeus kertomalla kulmanopeutta säteen suuruudella
Vastaus: Kiertokulman suuruus on noin 3300 radiaania. Keskimääräinen pyörimisnopeus on noin 1, 6 1/s , keskimääräinen kulmanopeus noin 10 1/s ja kehän pisteen keskimääräinen ratanopeus noin 6, 2 m/s . (Tämä on samalla polkupyörän keskivauhti.)
Tasainen ympyräliike ja normaalikiihtyvyys
Newtonin lakien mukaisesti kappaleella on kiihtyvyyttä silloin, kun sen nopeus muuttuu. Jos kiihtyvyys on liikkeen suuntainen, kappaleen liike kiihtyy ja jos kiihtyvyys on liikkeen suunnalle vastakkainen, liike hidastuu. Jos taas kiihtyvyys on liikkeen suhteen kohtisuorassa, se muuttaa liikkeen suuntaa, eli kääntää kappaleen nopeusvektoria.
Tasaisessa ympyräliikkeessä olevan kappaleen nopeus on aina ympyrän tangentin suuntainen. Se siis kääntyy ympyräliikkeen aikana jatkuvasti ja sen kääntymisnopeus on vakio. Tämä tarkoittaa, että kappale on jatkuvasti tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä ja, että kiihtyvyys on liikkeen suhteen kohtisuorassa suunnassa.
Nopeusvektori osoittaa ympyrälle piirretyn tangentin suuntaan ja se kääntyy kohti ympyrän keskipistettä (ei siitä poispäin). Tasaisessa ympyräliikkeessä kiihtyvyys osoittaa siis aina kohti ympyrän keskipistettä. Jollekin suunnalle tai tasolle kohtisuorassa olevaa vektoria kutsutaan normaalivektoriksi, joten tasaisessa ympyräliikkeessä olevan kappaleen kiihtyvyyttä kutsutaan normaalikiihtyvyydeksi (se on nopeusvektorin normaalin suuntainen). Normaalikiihtyvyyden symboli on aₙ ja sen yksikkö on kiihtyvyyden yksikkö m/s². Normaalikiihtyvyyden suuruudelle voidaan johtaa laskukaava ympyrän säteen ja ratanopeuden avulla, todetaan tässä vain tulos
Normaalikiihtyvyys kääntää tasaisessa ympyräliikkeessä olevan kappaleen nopeusvektoria. Nopeusvektori osoittaa aina ympyrän tangentin suuntaan, normaalikiihtyvyys aina kohti ympyrän keskipistettä.
Kiihtyvyys on siis sitä suurempi, mitä suurempi on kappaleen ratanopeus. Käyttämällä aiempaa tulosta ratanopeuden ja kulmanopeuden välillä, voidaan normaalikiihtyvyyden suuruus kirjoittaa myös
Johda itse normaalikiihtyvyyden lauseke kulmanopeuden avulla ratanopeuden avulla kirjoitetusta lausekkeesta.
Tästä muodosta nähdään esimerkiksi, että kahdesta samalla kulmanopeudella pyörivästä kappaleesta suurempi normaalikiihtyvyys on sillä, joka kiertää suurempaa ympyrää. Jos taas kaksi kappaletta kulkee samalla ratanopeudella, on normaalikiihtyvyyttä enemmän sillä, joka kiertää pienempää ympyrää.
Esimerkki: Oheisessa kuvassa on kaksi samaa pistettä kiertävää kappaletta, jotka ovat tasaisessa ympyräliikkeessä. Kummalla kappaleista on suurempi kiihtyvyys, jos
a) niiden kulmanopeudet ovat samat?
b) niiden ratanopeudet ovat samat?
Miten kiertoradan säde vaikuttaa kappaleen kiihtyvyyteen?
Ratkaisu: Kappaleet ovat tasaisessa ympyräliikkeessä, joten niiden kiihtyvyys on niiden normaalikiihtyvyys.
a) Katsotaan normaalikiihtyvyyden suuruuden lauseketta kulmanopeuden avulla
Tästä nähdään, että mitä suurempi on radan säde, sitä suurempi on normaalikiihtyvyys (jos kulmanopeus on vakio). Suurempisäteisellä kiertoradalla on siten suurempi kiihtyvyys.
b) Katsotaan normaalikiihtyvyyden suuruuden lauseketta ratanopeuden avulla
Tästä nähdään, että mitä pienempi on radan säde, sitä suurempi on normaalikiihtyvyys (jos ratanopeus on vakio). Pienempisäteisellä kiertoradalla on siten suurempi kiihtyvyys.
Esimerkki: Metallikuula on kiinnitetty 1,30 m mittaisen vaijerin päähän. Kuula heilautetaan tasaiseen ympyräliikkeeseen vaakatasossa siten, että kierrettävän ympyrän säteeksi tulee 0,42 m. Määritä kuulan ratanopeuden suuruus.
Ratkaisu: Pääsemme ratanopeuden suuruuteen käsiksi kuulan normaalikiihtyvyyden avulla. Normaalikiihtyvyyden aiheuttaa kuulaan kohdistuva kokonaisvoima, joten piirretään ensin kuulan voimakuvio.
Normaalikiihtyvyyden aiheuttaa langan jännitysvoiman vaakasuora komponentti Tx Newtonin toisen lain mukaisesti
Pystysuunnassa olevat voimat kumoavat toisensa, eli
Suorakulmaisten kolmioiden avulla voimme liittää langan jännitysvoiman kaksi komponenttia toisiinsa ja kirjoittaa Tx painovoiman suuruuden avulla
Tarvittava kulma voidaan ratkaista langan pituuden ja ympyrän säteen avulla
Palaamalla ensimmäiseen yhtälöön voidaan nyt ratkaista ratanopeuden suuruus:
Kuulan voimakuvio. Normaalikiihtyvyys on jännitysvoiman vaakasuoran komponentin suuruinen ja -suuntainen.
Halutun komponentin suuruuteen päästään käsiksi trigonometrian avulla.
Sijoittamalla loput tunnetut arvot, saadaan ratanopeudeksi
Vastaus: Kuulan ratanopeus on noin 1,2 m/s
Tehtävät
Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen
1. Usein termit pyörimisliike ja ympyräliike voivat helposti sekoittua keskenään. Selitä lyhyesti, miten pyörimisliike ja ympyräliike eroavat toisistaan ja anna esimerkki kummastakin tilanteesta.
Pyörimisliike ja ympyräliike ovat kahta eri liiketyyppiä. Pyörimisliikkeessä olevan kappaleen asento muuttuu eli voidaan ajatella, että kappaleen joka ikinen osa kiertää ympyrämuotoista rataa kappaleen poikki kulkevan akselin ympäri. Tällöin tarkastellaan siis kappaleen asennon muuttumista. Esimerkiksi pallo on pyörimisliikkeessä liikkuessaan. Ympyräliikkeessä oleva kappale taas liikkuu ympyrärataa pitkin muuttamatta asentoa, jolloin tarkastellaan pyörimisliikkeestä poiketen kappaleen paikan muuttumista. Esimerkiksi karuselli kiertää ympyrärataa, joten se on ympyräliikkeessä olleessaan liikkeellä. Lisäksi on myös hyvin mahdollista, että kappaleella on sekä pyörimis- että ympyräliikettä samaan aikaan. Hyvä tapaus tällaisesta tilanteesta on esimerkiksi Kuu, joka pyörii oman akselinsa suhteen ja samalla kiertää maapalloa likimäärin pitkin ympyrärataa.
2. Kuvan mukainen karuselli, jonka reunan etäisyys keskipisteestä on 1,0 m, lähtee levosta pyörimään vakiokiihtyvyydellä. Karusellin kierrosaika on 10,0 s ja ilmanvastusta voidaan olettaa merkityksettömän pieneksi.
a) pyörimisnopeus.
b) kulmanopeus.
c) ratanopeus
a) 0,10 rad/s.
b) 0,63 rad/s.
c) 0,63 rad/s.
3. Erässä oppilastyössä tutkittiin pyörivän Cd-levyn kiertokulmaa 2, 0 sekunnin välein ja saatiin seuraavanlaiset tulokset:
a) Laadi ϕ(t) :n kuvaaja sopivalla piirto-ohjelmalla ja määritä Cd-levyn kulmanopeus kuvaajan perusteella.
b) Mikä on Cd-levyn kiertokulma, kun aikaa on kulunut 12,5 sekuntia?
a) ω ≈ 0, 37 rad/s
b) ϕ ≈ 4,8rad,
4. Luistelija (m = 68 kg) kaartaa 37 metrin säteistä ympyrärataa pitkin ratanopeudella 23 km/h. Kuinka suuri voima riittää pitämään luistelijaa radalla?
75 N
5. Levossa oleva leluauto (m = 0, 45 kg) lähtee liukumaan rataa pitkin alla olevan kuvan mukaisesti. Radan lopussa on silmukkarata, jonka korkeus on 30 cm. Leluauton renkaat ovat kiinni radassa siten, ettei se voi pudota radalta. Kitka voidaan olettaa merkityksettömäksi. Minkä suuruinen tukivoima leluautoon kohdistuu kuvan pisteessä A ja mihin suuntaan se suuntautuu? Entä mikä on leluauton nopeus, kun se on tullut silmukasta ulos tasaiselle radalle?
1,5 N, kuvassa ylöspäin.
2,6 m/s
6. Heilurin 1,75 metrin pituiseen langan päähän ripustetaan pallo, jonka massa on 90 grammaa. Pallo lähtee kiertämään ympyrärataa vakionopeudella siten, että heilurin lanka on 35º :n kulmassa pystyakselia nähden. Piirrä voimakuvio, jossa näkyy palloon kohdistuvat voimat ja pallon kiihtyvyys. Mikä on heilurin jaksonaika? Entä kuinka suuri on langan jännitysvoima?
2,4 s
1,1 N