Matemaattiset taidot

Derivointi ei ole tällä kurssilla (tai millään muullakaan fysiikan kurssilla) välttämätön esitieto ja voit varsin hyvin ymmärtää kaikki tämänkin materiaalin ilmiöt ilman derivointia. Se on kuitenkin monessa tilanteessa hyödyllinen työkalu, joten käymme tässä osassa lyhyesti läpi mitä funktion derivaatta tarkoittaa ja mihin sitä voi käyttää. Fysiikan malleissa suureita kuvataan funktioilla, joiden avulla on kätevä ennustaa suureiden kehitystä. Esimerkiksi tasaisessa liikkeessä olevalle kappaleelle voidaan käyttää paikkafunktiota x(t)

joka kertoo meille kappaleen paikan x(t) hetkellä t, kunhan tunnemme kappaleen paikan mittauksen alussa x(0) ja kappaleen nopeuden v₀. Lauseke antaa meille kappaleen paikan ajan funktiona. Toinen tuttu paikkafunktio on korkeudelta h vapaasti putoavan kappaleen paikka. Koska liike tapahtuu pystysuunnassa, merkitään kappaleen korkeutta lattiasta paikkafunktiolla h(t)

missä g = 9,81 m/s² on putoamiskiihtyvyys ja h(0) on alkuperäinen pudotuskorkeus. Kummassakin tapauksessa voimme kysyä millä nopeudella paikka muuttuu jollakin ajanhetkellä, esimerkiksi kun t = 2 s. Saamme sen selville selvittämällä mikä on paikkafunktion muutosnopeus hetkellä t = 2 s. Tähän on kaksi tapaa, jotka antavat saman tuloksen, koska ne ovat oikeastaan sama asia:

1. Hetkellinen muutosnopeus hetkellä t = 2 s on funktion kuvaajalle tähän kohtaan piirretyn tangentin kulmakerroin.

2. Kohtaan t = 2 s piirretyn tangentin kulmakerroin on funktion derivaatan arvo pisteessä t = 2 s. Derivaatan arvo siis myös antaa hetkellisen muutosnopeuden.

Sitten pitäisi vielä löytää kunkin funktion derivaattafunktio, jotta tuon arvon voi laskea. Jätämme varsinaisen derivoinnin opettelun matematiikan puolelle, mutta tarkistetaan kuitenkin millaisia tuloksia saataisiin esimerkkifunktioillamme.

Jos tasaisen liikkeen paikkafunktiota derivoi ajan suhteen, saadaan

eli tasaisessa liikkeessä paikan muutosnopeus on v(t) = v₀ kaikilla ajanhetkillä. Tämä oli varmaankin odotettavissa: paikan muutosnopeus on sen nopeus.

Jos taas derivoidaan korkeuden paikkafunktiota ajan suhteen, on tuloksena

Samoin kuin yläpuolella, paikan muutosnopeus antaa nopeuden, joten tulos on putoamisnopeuden lauseke ajan funktiona

joka on meille tuttu tasaisesti kiihtyvän liikkeen laskukaava, kun kiihtyvyyden suuruus on a = −g, eli putoamiskiihtyvyys.

Nopeuden muutosnopeus on kiihtyvyys, joten kiihtyvyys saadaan myös nopeusfunktiota derivoimalla:

Kuten näistäkin esimerkeistä nähdään, derivointi soveltuu fysiikan ilmiöiden kuvailuun erinomaisesti ja mahdollisissa jatko-opinnoissasi tulet todennäköisesti tekemään sitä paljon (myös) fysiikan puolella.

Tällä kurssilla tulemme tarvitsemaan derivointia sähkömagneettisen induktion ymmärtämisessä. Kuten opit alempana, muuttuva magneettikenttä saa aikaan jännitteen, jonka voimakkuus riippuu magneettikentän muutosnopeudesta. Toisin sanoen syntyvä jännite riippuu magneettikentän aikaderivaatasta, eli suurin piirtein

missä Φ kuvaa magneettikenttää tavalla, jonka opimme myöhemmin.

Lisää derivaatasta pitkän matematiikan derivaatta kurssilla: Tästä kurssille