Matemaattiset taidot
Vektorien yhteenlasku
Tällä kurssilla tarkastelemme kappaleiden liikettä ja liikkeen muutoksia. Nopeus ja kiihtyvyys ovat esimerkkejä vektorisuureista, eli suureista, joilla on suuruuden lisäksi myös suunta. Esimerkiksi lämpötila on skalaarisuure, eli sillä on jokaisessa pisteessä vain suuruus, mutta nopeus on vektorisuure, sillä ”10 m/s länteen” on eri asia kuin ”10 m/s pohjoiseen”.
Vektorien laskusäännöt ovat erilaiset kuin matematiikasta tutut skalaarien laskusäännöt. Yhteenlasku ja kertolasku tehdään siis vektoreilla eri tavalla. Lukion fysiikassa käymme vektorien laskusäännöistä vain yksinkertaisimmat summaussäännöt, kertolaskusääntöihin törmäät ainakin, jos luet pitkää matematiikkaa.
Lukiossa käytetään enintään 3-ulotteisia vektoreita ja melkein kaikissa laskuissa meille riittää 2 ulottuvuutta. Kahdessa ulottuvuudessa voimme käyttää (x, y) -koordinaatistoa, jolloin jokainen vektori voidaan esittää nuolena tutussa koordinaatistossa. Vektoreita merkitään tunnuksen päällä olevalla viivalla tai nuolella, joskus vektorit on lihavoitu, esimerkiksi nopeusvektoria merkitsemme näissä materiaaleissa v, kun taas nopeuden suuruutta merkitään v. Asiayhteydestä pitäisi olla selvää puhutaanko vektorista vai sen suuruudesta.
Fysiikassa tarvitsemme vektoreita esimerkiksi silloin, kun hahmottelemme kappaleeseen vaikuttavia voimia, eli piirrämme kappaleen voimakuvion. Näin graafisesti esitettyjä voimia voidaan laskea yhteen tutuilla geometrian säännöillä.
Laskemme kaksi vektoria yhteen esimerkiksi kun haluamme tietää kahden voiman yhteisvaikutuksen. Useimmiten tiedämme yhteenlaskettavien vektorien pituudet ja haluamme tietää summavektorin pituuden ja suunnan. Vektorit lasketaan yhteen näin: Asetetaan toinen vektoreista (v2) alkamaan ensimmäisen (v1) loppupisteestä, jonka jälkeen summavektori (v1 + v2) kulkee ensimmäisen alkupisteestä toisen päätepisteeseen.
Huomaa, että vektorien yhteenlasku on kurssin hankalimpia asioita, etenkin jos et ole opiskellut matematiikassa vektoreita. Älä siis masennu, jos tämä näyttää tässä vaiheessa mahdottomalta, vaan palaa tähän tekstiin aina tarvittaessa myöhemmin.
Kuva 1: Neljä vektoria tasokoordinaatistossa.
Kuva 2: Yksinkertainen voimakuvio
Kuva 3: Vektorien yhteenlasku.
Samalla suoralla olevat vektorit
Yksinkertaisin tilanne on silloin, kun summattavat vektorit osoittavat samaan suuntaan tai vastakkaisiin suuntiin. Tällöin summavektorin v1 + v2 pituus on niiden pituuksien summa tai erotus. Merkitään summavektorin pituutta
v = |v1 + v2|
Summavektorin pituudeksi saadaan summattavien vektorien summa tai erotus:
v = v1 + v2 TAI v = v1 − v2
Kohtisuorassa olevat vektorit
Toinen tärkeä tapaus on silloin, kun summattavat vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Tällöin ne muodostavat suorakulmaisen kolmion kateetit ja summavektori on tämän kolmion hypotenuusa.
Hypotenuusan pituus saadaan Pythagoraan lauseella:
ja vektorien välinen kulma esimerkiksi vektoriin v1 nähden tangenttifunktion avulla:
Kuva 4: Summavektorit, kun summattavat vektorit ovat samalla suoralla.
Kuva 5: Summavektori, kun summattavat vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan
Missä tahansa kulmassa olevat vektorit
Hankalin tilanne, joka meille tulee vastaan, on sellainen, jossa summattavat vektorit eivät ole samansuuntaisia tai kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tällöin tarvitaan yksi ylimääräinen askel, jonka jälkeen meillä on jälleen kaksi toisiaan kohtisuorassa olevaa vektoria ja lasku jatkuu Pythagoraan lauseella.
Komponentteihin jako
Samalla tapaa kuin kaksi vektoria muodostavat summavektorin, voi minkä tahansa vektorin jakaa kahden komponenttivektorin summaksi. Tämä on erittäin yleinen temppu fysiikassa, etenkin tällä kurssilla
Otetaan tehtäväksi summata keskenään kaksi vektoria v1 ja v2, joiden välinen kulma on β.
Emme pääse suoraan käyttämään Pythagoraan lausetta, sillä vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiinsa nähden. Voimme kuitenkin tehdä seuraavan tempun:
1. Jaetaan jälkimmäinen vektori kahteen osaan, eli komponenttiin. Toinen komponenteista tulee samansuuntaiseksi kuin ensimmäinen summattavista vektoreista ja toinen komponentti tätä vastaan kohtisuoraan.
2. Summataan samaan suuntaan olevat kaksi vektoria, jolloin saadaan suorakulmaisen kolmion toisen kateetin pituus.
3. Käytetyään Pythagoraan lausetta ja lasketaan hypotenuusan pituus kateettien avulla.
4. Käytetään tangenttia ja lasketaan summavektorin kulma ensimmäisen vektorin kanssa.
Annetussa kuvassa vektori v2 jaetaan kahteen komponenttiin trigonometristen funktioiden avulla
Kuva 6: Summavektori, kun summattavat vektorit ovat missä tahansa kulmassa toisiinsa nähden.
Tämän jälkeen vaakasuorassa olevat vektorit summataan keskenään ja lasketaan hypotenuusan pituus Pythagoraan lauseella
Lopuksi kulma α lasketaan kuten aiemmassakin esimerkissä tangentin avulla:
Muista, että tämä on yksi kurssin tärkeimmistä ja hankalimmista asioista. Vektorien yhteenlaskuun liittyvät laskut ovat kuitenkin yleensä hyvin samanlaisia keskenään, joten kun ymmärrät yhden laskun hyvin, osaat pian ne kaikki.
Useissa tehtävissä tilannetta hankaloitetaan piirtämällä ensimmäinen vektori (kuvassa v1) kaltevasti sivuun nähden. Tällöin voit aina kääntää sivua siten, että vektori on jälleen vaakatasossa.