SÄHKÖKENTTÄ
Fysiikassa tulee usein vastaan tilanteita, joissa haluamme puhua sen voiman suuruudesta, jonka jokin varauksellinen hiukkanen aiheuttaisi missäkin kohdassa, jos siihen kohtaan tuotaisiin toinen varauksellinen hiukkanen. Sähköinen vuorovaikutus on aina kahden hiukkasen välinen, joten sähköinen voimakin edellyttää kaksi hiukkasta. On kuitenkin hyödyllistä pystyä puhumaan esimerkiksi elektronin aiheuttamasta sähköisestä vaikutuksesta yleisemmin koko avaruudessa, ilman toista varattua hiukkasta jokaisessa avaruuden pisteessä. Tämä tehdään niin kutsutun sähkökentän avulla.
Puhumme tässä yksinkertaisuuden vuoksi hiukkasista, mutta samat tulokset pätevät sähköisesti varatuille kappaleille.
Myöhemmin opitaan kuinka sähkökentässä voi esimerkiksi kulkea aaltoja ja kuinka sillä on muitakin konkreettisia fysikaalisia ominaisuuksia. Tällä kurssilla kuitenkin rajoitutaan käyttämään sähkökenttää sähköisen voiman kuvaamiseen.
Pistevarauksen sähkökenttä
Klassisessa sähkömagnetismin teoriassa jokaisella sähköisesti varatulla hiukkasella on sähkökenttä, joka välittää hiukkasen sähköisen vuorovaikutuksen muille hiukkasille. Sähkökentän vaikutus havaitaan muihin hiukkasiin kohdistuvina voimina. Sähkökenttä koostuu vektoreista (eli se on niin kutsuttu vektorikenttä), eli sillä on jokaisessa pisteessä sekä suunta, että suuruus.
Sähkökentän suunta kussakin pisteessä on aina sama kuin siihen pisteeseen laitettuun positiiviseen testivarauksen kohdistuvan voiman suunta. Esimerkiksi elektronin sähkökenttä osoittaa jokaisessa pisteessä kohti elektronia, sillä positiiviseen varaukseen kohdistuisi voima aina tähän suuntaan. Protonin sähkökenttä puolestaan osoittaa aina protonista poispäin. Tilanne mutkistuu, kun varauksia on enemmän, mutta sama sääntö pätee silloinkin: sähkökentän suunta on sama kuin positiiviseen testivaraukseen kohdistuvan voiman suunta.
Myös sähkökentän voimakkuus vaihtelee pisteestä toiseen ja se voidaan laskea eri tilanteissa eri tavoin. Rajoitumme tässä materiaalissa yksinkertaisimpiin tilanteisiin, joissa sähkökentän voimakkuus on joko kaikkialla sama tai se koostuu yhden tai useamman pistevarauksen sähkökentistä. Yksittäisen pistevarauksen (varaus Q) sähkökentän voimakkuus E saadaan Coulombin lakia muistuttavalla laskukaavalla (etäisyydellä r):
Verrattuna Coulombin voiman suuruuteen FC, voidaan kirjoittaa yhtälö
Testivaraus tarkoittaa sellaista varausta, jonka vaikutusta muihin hiukkasiin ei oteta huomioon. Sen avulla vain testataan minkälainen sähköinen ympäristö missäkin pisteessä on.
missä Qt on testivarauksen sähkövaraus. Tästä yhtälöstä nähdään myös sähkökentän voimakkuuden yksikkö, joka on N/C. Jos hiukkasia on useita, voidaan sähkökentät laskea erikseen ja päätellä niiden avulla kokonaissähkökenttä, samalla tavoin kuin voimien yhteenlaskussa.
Esimerkki: Viereisessä kuvassa on yksi positiivisesti varattu ja yksi negatiivisesti varattu hiukkanen. Hiukkasten varaukset ovat yhtä suuret. Päättele sähkökentän suunta pisteissä A, B, C ja D.
Ratkaisu: Sähkökentän suunta on sama kuin positiiviseen testivaraukseen kohdistuvan voiman suunta. Positiivinen testivaraus kokee vetävän voiman kohti negatiivista varausta ja hylkivän voiman positiivisesta varauksesta poispäin. Käydään kokonaistilanne läpi piste kerrallaan
A. Vetävä voima kohdistuu kuvassa alaspäin ja hylkivä voima ylöspäin. Negatiivinen varaus on lähempänä, joten sen sähkökenttä on voimakkaampi. Sähkökentän suunta on siis suoraan alaspäin.
B. Sekä vetävä voima, että hylkivä voima osoittavat ylöspäin, joten kokonaisvoima ja siten myös sähkökenttä osoittavat ylöspäin.
C. Vetävä voima on yläviistoon vasemmalle ja hylkivä voima yläviistoon oikealle. Voimat ovat yhtä suuret, joten myös niiden vaakasuorat osat ovat yhtä suuret. Vaakasuorat osat ovat vastakkaissuuntaiset, joten ne kumoavat toisensa ja voimista jää jäljellä vain ylöspäin suuntautuva osa. Voima ja siten myös sähkökentän suunta on siis suoraan ylöspäin.
D. Vetävä voima on ylöspäin ja hylkivä voima alaspäin. Nyt ollaan lähempänä hylkivää varausta, joten hylkivä voima on voimakkaampi ja sähkökenttä osoittaa suoraan alaspäin.
Jotta saadaan hyvä kokonaiskuva sähkökentän muodosta koko avaruudessa, yhdistetään eri pisteissä olevat sähkökenttää kuvaavat nuolet yhtenäisiksi kenttäviivoiksi. Kenttäviivoillakin on suunta ja se on jokaisessa pisteessä sama suunta kuin positiiviseen testivaraukseen kohdistuvan voiman suunta. Vastaavasti testivaraukseen kohdistuvan voiman suunta olisi aina kenttäviivan tangentin suuntainen.
Nyt kentän voimakkuutta ei voi enää päätellä sähkökenttää kuvaavien nuolien pituudesta, mutta sen voi päätellä kenttäviivojen tiheydestä: mitä tiheämmässä kenttäviivat ovat, sitä voimakkaampi kenttä on. Pistevarausten ulkopuolella sähkökentän kenttäviivat lähtevät positiivisesta pistevarauksesta ja päättyvät negatiiviseen pistevaraukseen. Sähkökentän muodosta johtuen näitä pistevarauksia kutsutaankin sähkökentän lähteiksi ja nieluiksi.
Sähkökentän muoto yksittäisten pistevarausten sekä pistevarausparin ulkopuolella. Vertaa kenttäviivojen suuntia edellisen esimerkin tuloksiin
Homogeeninen sähkökenttä
Sähkökenttä kohdistaa voiman varaukselliseen hiukkaseen, joten kun tällainen hiukkanen liikkuu sähkökentässä, sillä on kiihtyvyyttä. Jos haluamme ennustaa varauksellisen hiukkasen liikettä sähkökentässä, tarvitsemme siis kiihtyvän liikkeen mallia.
Esimerkiksi pistevarauksen sähkökentässä liikuttaessa ongelma on, että sähkökentän suunta ja voimakkuus vaihtelee sen mukaan, missä pisteessä ollaan. Tämä tekee liikkeen ennustamisesta hankalaa, vaikka se toki onkin mahdollista. Aloitetaan siksi ulkoisessa sähkökentässä tapahtuvan liikkeen tarkastelu helpoimmasta mahdollisesti tapauksesta, jossa sähkökentän suunta ja voimakkuus ovat samat jokaisessa pisteessä. Tällaisessa niin kutsutussa homogeenisessa sähkökentässä varaukselliseen hiukkaseen kohdistuva voima on vakio, joten hiukkasen saama kiihtyvyyskin on vakio.
Yksinkertainen tapa saada homogeeninen sähkökenttä aikaiseksi on ottaa kaksi yhdensuuntaista johdinlevyä ja kytkeä ne jännitelähteeseen, jolloin levyt varautuvat samaan sähköiseen potentiaaliin kuin jännitelähteen navat. Negatiivisesti varatulla levyllä on ylimäärä elektroneja ja vastaavasti positiivisella levyllä on samansuuruinen elektronivajaus. Tilanne on samanlainen kuin varatussa levykondensaattorissa.
Kun varaukset ovat jakautuneet tasaisesti johdinlevyille, on levyjen välissä jokaisessa pisteessä sähkökentän suunta suoraan positiiviselta levyltä negatiiviselle. Vähemmän selvää on, että sähkökentän voimakkuus levyjen keskellä on yhtä suuri kuin lähellä levyä. Tuloksen johtaminen on matemaattisesti haastavaa, joten otetaan tämä tulos annettuna. Aivan levyjen reunojen läheisyydessä (ja niiden ulkopuolella) sähkökenttä alkaa kaartua, mutta usein voidaan ajatella sen kuitenkin olevan sovellusten kannalta riittävän lähellä homogeenista kenttää.
Sähkökentän suunnan muistaa jälleen parhaiten siitä, että se osoittaa samaan suuntaan kuin positiiviseen testivaraukseen kohdistuva voima. Useissa sovelluksissa tilanne on sellainen, että ulkoisen sähkökentän voimakkuutta voidaan säätää, eli koejärjestelyssä käytetyn sähkökentän voimakkuus tunnetaan. Tällöin voidaan tutkia hiukkasen sähkövarauksen ja siihen kohdistuvan voiman suhdetta, sillä tässäkin tilanteessa sähkökentän voimakkuuden, hiukkasen sähkövarauksen ja siihen kohdistuvan voiman suuruuden välillä on voimassa yhtälö:
Idealisointi kahden johdinlevyn välissä olevasta homogeenisesta sähkökentästä.
Positiiviseen varaukseen kohdistuva Coulombin voima. Negatiivisesti varattuun hiukkaseen kohdistuu vastakkaissuuntainen voima.
Voima aiheuttaa hiukkaselle massasta riippuvan kiihtyvyyden, joten voimme kirjoittaa yhtälön myös näin:
Kuten huomaat, yhtälöissä on vektorisuureita, joista olemme ottaneet vain suuruudet. Yhtälöt pätevät kyllä sellaisenaan myös vektorimuodossa, mutta niitä on helpompi käyttää siten, että vektorien suunnat ja suuruudet määritetään erikseen. Erityistä huomiota kannattaa kiinnittää siihen, että positiivisesti varatun hiukkasen kiihtyvyys on samaan suuntaan kuin sähkökenttä, negatiivisesti varatun hiukkasen kiihtyvyys on vastakkaiseen suuntaan.
Ylläolevasta yhtälöstä nähdään, että tietyn vahvuisessa sähkökentässä hiukkasen saama kiihtyvyys riippuu sen sähkövarauksen ja massan suhteesta. Emme siis suoraan saa tietoon esimerkiksi tuntemattoman hiukkasen sähkövarausta pelkästään sen saaman kiihtyvyyden avulla. Sähkövarauksen määrittäminen kuitenkin onnistuu, jos otamme gravitaation avuksi ja tunnemme tavalla tai toisella käytetyn hiukkasen massan.
Joseph Thomson löysi elektronin vuonna 1897. Hän tutki niin kutsuttuja katodisäteitä ja päätteli niiden koostuvan negatiivisesti varatuista hiukkasista, joiden massa oli suuruusluokaltaan enintään noin tuhannesosa siitä, mitä atomien massaksi tuolloin arveltiin.
Elektronin sähkövarausta Thomson ei kyennyt määrittämään, vaan sen tekivät Robert Millikan ja Harvey Fletcher vuonna 1909. Millikan palkittiin työstä Nobelin fysiikan palkinnolla vuonna 1923. Millikanin ja Fletcherin alkuperäinen koejärjestely oli hiukan mutkikkaampi, joten yksinkertaistetaan sitä hieman. Asetetaan johdinlevyt niin, että sähkökenttä on sellainen, että negatiivisesti varattu kappale kokee siinä ylöspäin suuntautuvan voiman. Massallinen kappale kokee myös gravitaatiovoiman, jonka suunta on sähköiselle voimalle vastakkainen. Säätämällä sähkökentän voimakkuus sopivaksi, saadaan kappaleeseen kohdistuva kokonaisvoima nollaksi, jolloin kappale pysyy paikallaan.
Millikanin kokeessa käytetään sähköisesti varattuja öljypisaroita ja etsitään sellaiset sähkökentän voimakkuuden arvot, joilla pisarat jäävät leijumaan kentässä.
Kun sähköinen voima on yhtä suuri kuin painovoima, on voimassa skalaariyhtälö
Jos koejärjestely onnistutaan tekemään niin, että öljypisaroiden (tai minkä tahansa muun sähköisesti varatun kappaleen tai hiukkasen) massa tunnetaan riittävällä tarkkuudella, saadaan niiden sähkövaraus määritettyä sähkökentän voimakkuuden avulla.
Atomin rakenteeseen ja atomimallien kehitykseen palataan tarkemmin FY7kurssilla.
Negatiivisesti varattu kappale leijuu sähkökentässä silloin, kun siihen kohdistuvat voimat kumoavat toisensa.
Millikan ja Fletcher huomasivat kokeessaan, että pisaroiden sähkövaraukset saivat vain tiettyjä diskreettejä arvoja, eli sähkövaraus on kvantittunut suure. Jokainen sähkövaraus oli tietyn alkeisvarauksen monikerta, jonka he päättelivät olevan elektronin sähkövaraus. He päätyivät tulokseen e = 1,5924·10⁻¹⁹ C, joka on noin 0,6% päässä alkeisvarauksen oikeasta arvosta e = 1,602176634·10⁻¹⁹ C.
Alkeisvarauksen arvo on nykyisin määritelty olemaan tarkka luonnonvakion arvo.
Esimerkki: Homogeeniseen sähkökenttään asetetaan fluori-ioni F⁻. Määritä sähkökentän voimakkuus silloin, kun fluori-ioni leijuu sähkökentässä paikallaan. Entä millä sähkökentän voimakkuudella ioni leijuisi silloin, jos se olisi hetkellisesti F⁻ sijaan F²⁻.
Fluori-ionin massa on erilainen fluorin eri isotoopeille. Voimme tämän tehtävän tarkkuuden rajoissa kuitenkin käyttää fluoriatomin keskimääräistä (jaksolliseen järjestelmään kirjattua) massaa.
Ratkaisu: Fluori-ionin varaus on sama kuin elektronin, ja fluorin massa löytyy alkuaineiden jaksollisesta järjestelmästä. Fluorin moolimassa on
jolloin yksittäisen fluoriatomin massa on noin
Tähän pitäisi periaatteessa lisätä vielä yhden elektronin massa, mutta se on niin pieni suhteessa fluoriytimen massaan, että sen pois jättäminen ei muuta lopullista vastausta käytetyn tarkkuuden rajoissa.
Käytetään samaa skalaariyhtälöä kuin ylempänä ja ratkaistaan siitä sähkökentän voimakkuus (massa kannattaa muuttaa kilogrammoiksi, jolloin ollaan SI-järjestelmän perusyksiköissä)
Jos fluoridille antaisi vielä toisen ylimääräisen elektronin, sen massa pysyisi käytännössä samana ja sen sähkövaraus olisi kaksinkertainen. Tällöin saman sähköisen voiman aikaansaamiseen riittäisi puolet edellisestä sähkökentän voimakkuudesta.
Vastaus: Sähkökentän voimakkuus on noin 1,9 µN/C silloin, kun F−-ioni leijuu paikallaan. Jos fluori-ionin sähkövaraus olisi kaksinkertainen, olisi tarvittavan sähkökentän voimakkuus puolet tästä.
Homogeenisen sähkökentän ominaisuuksia
Katsotaan seuraavaksi miten sähkökentän voimakkuutta voi säätää johdinlevyjen välistä jännitettä muuttamalla, ja miten varatun hiukkasen sähköinen potentiaalienergia muuttuu sähkökentässä.
Unohdetaan jälleen hetkeksi painovoiman vaikutus sähkökentässä olevaan hiukkaseen ja keskitytään sähköisen voiman vaikutukseen. Tämä voidaan koejärjestelyissä perustella esimerkiksi asettamalla sähkökenttä gravitaation suhteen poikittaiseen tasoon ja tarkastelemalla hiukkasen liikettä vain tässä tasossa. Alkeishiukkasten tapauksessa gravitaation vaikutukset jätetään muutenkin usein huomiotta, sillä sähköiset voimat ovat hiukkasten tapauksessa usein monta kertaluokkaa suuremmat.
Katsotaan ensin hiukkaseen varastoituvaa sähköistä potentiaalienergiaa. Otetaan homogeeninen sähkökenttä ja asetetaan negatiivisesti varattu hiukkanen sen positiivisesti varatun johdinlevyn viereen. Siirretään sitten hiukkanen positiiviselta levyltä negatiiviselle levylle ja lasketaan tähän tehty työ. Tilanne olisi tietenkin symmetrinen positiivisesti varatulle hiukkaselle, joka siirretään vastakkaiseen suuntaan.
Koska sähköinen voima on koko matkan ajan vakio ja voiman vaikutussuora on liikkeen suuntaan, saadaan tehdyn työn suuruus yksinkertaisesti voiman ja kuljetun matkan tulona. Jos levyjen välinen etäisyys on d, on tehty työ
Tämä on samalla hiukkasen saaman sähköisen potentiaalienergian suuruus.
Kytketään tämä seuraavaksi meille tuttuun suureeseen, levyjen väliseen jännitteeseen U. Tiedämme jo entuudestaan, että kahden pisteen välinen jännite vastaa sitä energia, joka vapautuu, kun yksi coulombi varausta siirtyy näiden pisteiden välillä. Jännite on energian määrä varausta kohden
Siirrettäessä hiukkasta siihen vaikuttavan voiman suuntaan nähden vastakkaiseen suuntaan tehdään työtä, joka varastoituu hiukkasen potentiaalienergiaksi.
Muista, että voima tekee työtä vain, jos ainakin osa siitä on liikkeen suuntaan (liikettä vastaan kohtisuorassa oleva voima ei tee työtä).
Johdinlevyjen tapauksessa varauksen Q siirtyessä levyltä toiselle (jännitteen pysyessä vakiona) on siihen liittyvän energian suuruus siten
Varo sekoittamasta keskenään energiaa ja sähkökentän voimakkuutta, molempia merkitään samalla symbolilla.
Tämän energian täytyy vastata sitä työtä, jonka äsken teimme siirtäessämme varauksen levyltä toiselle, joten
Toisaalta sähkökentän voimakkuuden määritelmän mukaisesti hiukkaseen kohdistuva voima voidaan kirjoittaa
Nämä tulokset yhdistämällä voidaan kirjoittaa levyjen välisen jännitteen ja sähkökentän voimakkuuden välinen yhtälö
Johdinlevyjen välissä olevan sähkökentän voimakkuutta voidaan siis lisätä joko levyjen välistä jännitettä kasvattamalla tai levyjen välistä etäisyyttä pienentämällä.
Samalla tästä yhtälöstä nähdään toinen luonnollinen ja yleisesti käytetty yksikkö sähkökentän voimakkuudelle, [E] = V/m
Esimerkki: Aiemmassa esimerkissä tarvitsimme 1,9 µN/C suuruisen sähkökentän, jotta fluori-ionit pysyivät ilmassa. Kuinka suuri tulee kokeessa käytetyn johdinlevyjen välisen jännitteen olla, jos niiden välinen etäisyys on 10 senttimetriä?
Ratkaisu: Levyjen välinen jännite saadaan suoraan sähkökentän voimakkuuden ja levyjen välisen etäisyyden avulla (yksiköt kannattaa valita valmiiksi sopiviksi)
Vastaus: Levyt tulee kytkeä noin 190 nV jännitteeseen.
Homogeenisen sähkökentän potentiaali
Toisinaan tulee tarvetta tarkastella liikettä vain jossakin sähkökentän osassa, eikä esimerkiksi johdinlevyltä johdinlevylle. Samoin meitä voisi kiinnostaa esimerkiksi edestakainen liike kohti levyä ja takaisin hiukkasen energian näkökulmasta. Tätä varten on hyödyllistä määritellä homogeenisen sähkökentän potentiaali. Sille käytetään samaa symbolia V kuin virtapiirissä määritellylle potentiaalille, ja sen yksikkökin on sama eli voltti [V] = V.
Virtapiirissä potentiaali määriteltiin virtapiirin jokaisessa pisteessä suhteessa maadoituspisteeseen. Kahden pisteen välisten potentiaalien erotus on näiden pisteiden välinen jännite. Homogeenisen sähkökentän potentiaali on samanlainen suure, joten aiemmin opitusta on tässä hyötyä, mutta samalla pitää olla tarkkana etteivät nämä toisiaan lähellä olevat käsitteet mene keskenään sekaisin.
Otetaan meille tuttu kahden johdinlevyn välinen sähkökenttä ja sovitaan esimerkin vuoksi levyjen väliseksi jännitteeksi U = 10,0 V ja levyjen väliseksi etäisyydeksi d = 20 cm. Levyjen välissä on siten homogeeninen sähkökenttä, jonka voimakkuus on
Lisätään nyt levyjen väliin piste, joka on etäisyydellä x negatiivisesta johdinlevystä ja jonka potentiaalin haluamme määrittää. Sovitaan negatiivinen johdinlevy potentiaalin nollatasoksi, eli negatiivisella johdinlevyllä on voimassa:
V(x = 0 cm) = 0,0 V
Potentiaalin nollatasoksi valittu kohta voidaan merkitä maadoitusmerkillä.
Nollatason valintaa kutsutaan myös maadoitukseksi, eli nyt negatiivinen johdinlevy on maadoitettu.
Positiivisella levyn potentiaaliksi tulee sama kuin levyjen välinen jännite:
V(x = d = 20 cm) = U = 10,0 V
Levyjen välinen jännite voidaankin aina kirjoittaa levyjen potentiaalien avulla (maadoituskohdasta riippumatta): U = V(d)−V(0)
Määritellään etäisyydellä x olevan pisteen potentiaaliksi V(x) = x·E
Esimerkkitapauksessamme voimme laskea eri pisteiden potentiaalit aiemmin lasketun sähkökentän voimakkuuden avulla, esimerkiksi:
Toinen tapa laskea potentiaalit on ottaa levyjen välisestä jännitteestä samansuuruinen osuus kuin mitä x:n osuus on koko matkasta d (sillä potentiaali on suoraan verrannollinen etäisyyteen silloin, kun potentiaalin nollatasoksi on valittu negatiivinen johdinlevy):
Potentiaali on sama kaikissa pisteissä etäisyydellä x maadoituskohdasta. Kuvan vaakasuora katkoviiva on esimerkki tasapotentiaalipinnasta.
Potentiaalin laskemisen kanssa kannattaa olla tarkkana, sillä potentiaalin nollataso saattaa joskus olla jossakin muualla kuin negatiivisella johdinlevyllä. Nollatason saa valita vapaasti ja joissakin tapauksissa on järkevää valita se muualle, vaikka näissä yksinkertaisissa tapauksissa kätevintä on asettaa nollataso negatiiviselle johdinlevylle. Yllä olevat yhtälöt pätevät kaikissa tapauksissa (kunhan sähkökenttä on homogeeninen), mutta yleisesti ottaen x on etäisyys potentiaalin nollatasosta.
Esimerkiksi jos sovimmekin esimerkkitapauksessamme nollatason niin, että negatiivisen johdinlevyn kohdalla potentiaali on 10,0 V ja positiivisen levyn kohdalla 20,0 V, on niiden puolivälissä potentiaali tietenkin 15,0 V. Sähkökentän voimakkuus on edelleen 50,0 V/m, mutta nyt potentiaalin nollatason piste on 20,0 cm negatiivisen johdinlevyn toisella puolella ja levyjen puolessa välissä x = 30,0 cm. Potentiaalin laskukaava antaa edelleen oikean tuloksen:
Sovittiin potentiaalin nollataso mihin tahansa, yksi asia ei muutu: potentiaali kasvaa aina, kun liikutaan vastakkaiseen suuntaan kuin sähkökenttä. Yksinkertaisimmissa tapauksissa tämä tarkoittaa, että potentiaali kasvaa positiivista johdinlevyä kohden mentäessä. Jos liikutaan sähkökentän kenttäviivoja vastaan kohtisuorasti, potentiaali ei muutu. Näitä potentiaalin tasa-arvokäyriä kutsutaan tasapotentiaalipinnoiksi.
Tasapotentiaalipintoja löytyy myös muista kuin homogeenisista sähkökentistä. Esimerkiksi pistevarauksen ulkopuolella sähkökentän tasapotentiaalipinnat ovat pallopintoja, hiukkasen varauksesta riippumatta. Muistamisen helpottamiseksi tasapotentiaalipintoja voi verrata kartoista löytyviin korkeuskäyriin, jotka yhdistävät samalla korkeudella olevat maanpinnan pisteet.
Potentiaalin avulla voidaan määritellä minkä tahansa kahden pisteen välinen jännite, samalla tapaa kuin virtapiireissäkin. Jännite on pisteiden potentiaalien erotus
Esimerkkitapauksemme pisteiden x₁ = 2,0 cm ja x₂ = 10,0 cm välinen jännite olisi siten
Samaan tulokseen päädyttäisiin jälleen ottamalla johdinlevyjen välisestä jännitteestä (10,0 V) näiden pisteiden välistä etäisyyttä vastaava osuus
Kahden pisteen välinen jännite on helppo määrittää niiden potentiaalien avulla. Kuvassa esimerkin kahta etäisyyttä vastaavat tasapotentiaalipinnat.
Jos esimerkiksi negatiivisesti varattu hiukkanen (varaus q) siirretään pisteestä x₁ pisteeseen x₂, täytyy tehdä työtä, joka varastoituu hiukkasen sähköiseksi potentiaalienergiaksi. Työn suuruus saadaan hiukkasen varauksen ja pisteiden välisen jännitteen avulla kuten aiemminkin
Elektronin siirtämiseen esimerkkimme sähkökentässä tarvitsisi siis
tehdä työtä
Elektronivoltti (eV) on kätevä energian yksikkö hiukkasten energioille, sillä ne ovat jouleina hyvin pieniä. Etsi siihen liittyvät muuntokaavat taulukkokirjasta.
Esimerkki: Homogeenisen sähkökentän voimakkuus on E = 10,0 V/m. Määritä kahden toisistaan 5,0 cm etäisyydellä olevan pisteen välinen jännite.
Ratkaisu: Pisteiden välinen jännite saadaan niiden välisen etäisyyden ja sähkökentän voimakkuuden tulona, joten se on
Vastaus: Pisteiden välinen jännite on noin puoli volttia
Potentiaalin avulla voimme käsitellä helpommin myös tilanteita, joissa esiintyy useita erivahvuisia sähkökenttiä rinnakkain. Katsotaan yhtä tällaista tilannetta esimerkin avulla.
Esimerkki: Kolme yhdensuuntaista johdinlevyä on kytketty jännitelähteisiin siten, että niistä keskimmäinen on maadoitettu ja kaksi muuta ovat potentiaaleissa 100 V ja 150 V. Määritä levyjen puoliväliin jäävien pisteiden potentiaalit ja näiden kahden keskikohdan välinen jännite.
Ratkaisu: Levyjen välissä olevia potentiaaleja voi hahmottaa potentiaalikuvaajalla, jonka avulla voi myös päätellä eri pisteiden välisiä jännitteitä. Koska keskimmäinen levy on maadoitettu, on sen potentiaali nolla ja siten sen kummallakin puolella levyjen puolivälissä potentiaali on puolet ulompien levyjen potentiaaleista:
V₁ = 50 V
V₂ = 75 V
Näiden pisteiden välinen jännite on niiden potentiaalien erotus:
U₁₂ = 75 V − 50 V = 25 V
Vastaus: Levyjen puolivälissä olevien pisteiden potentiaalit ovat 50 V ja 75 V ja näiden kahden pisteen välinen jännite on 25 V.
Yksinkertainen hahmotelma tilanteesta. Mihin suuntiin piirtäisit sähkökentän kenttäviivat ja olisivatko viivat yläosassa tai alaosassa tiheämmässä?
Levyjen ja niiden välisten pisteiden välisen potentiaalin kuvaaja.
Tehtävät
Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen.
1. Laske Cu²⁺ ionin aiheuttama sähkökenttä etäisyydellä 30 mm. Samalle etäisyydelle asetetaan varaus Qt = 11C. Kuinka suuri voima vaikuttaa elektroniin?
35 N
2. Kaksi levyä asetetaan etäisyydelle d toisistaan ja kytketään pariston (U = 1,5 V) eri napoihin. Kuinka suuri sähkökenttä on levyjen välissä, kun levyjen etäisyys on
a) 5,0 mm
b) 7,0 cm. Kuinka paljon jännitettä tulisi kasvattaa/laskea, jos tällä etäisyydellä halutaan saada a-kohdan sähkökenttä?
a) 300 N/C
b) 21 N/C, 19,5 V suurempi jännite
3. Aseta kuvan pisteet A–D potentiaali mukaiseen suuruusjärjestykseen, kun potentiaalin nollatasoksi on valittu negatiivinen johdinlevy. Miten potentiaalit muuttuvat, kun nollatasoksi valitaan positiivinen johdinlevy?
V (A) > V (C) = V (B) > V (D) = 0
Katso malliratkaisut
4. Kuinka suuri työ on tehtävä, jotta varausta q = 7,5 µC saadaan siirrettyä 10,0 cm sähkökentässä E = 140 N/C ?
W ≈ 11 µJ
5. Positiivisesti varattu hiukkanen (Q = −3e) asetetaan kahden johdinlevyn väliin. Kuinka voimakas ja minkä suuntainen sähkökenttä tarvitaan pitämään hiukkanen paikallaan, kun hiukkasen massa on 4,5·10⁻²³ g?
Sähkökentän tulee siis olla noin 0,91 µN/C ja sen tulee osoittaa painovoimaa vastaan.