Aineen aktiivisuus ja hajoamislaki

Seuraavaksi tutustumme kysymyksiin:

• Kuinka paljon radioaktiivinen aine säteilee?

• Miten tämän säteilyn määrä kehittyy ajan kuluessa?

Jokaisella radioaktiivisella ytimellä on tietty isotoopille ominainen todennäköisyys hajota jokaisen sekunnin aikana. On mahdotonta ennustaa milloin yksittäinen ydin hajoaa, mutta suuresta joukosta on mahdollista tehdä tilastollisia ennusteita. Makroskooppisessa näytteessä annetussa ajassa tapahtuvien hajoamisten määrä on tietenkin sitä suurempi mitä enemmän näyte sisältää radioaktiivisia atomeja. Jos otamme esimerkiksi 10 gramman näytteen, joka sisältää 2,0% uraanin isotooppia U-235, saamme näytteen sisältämän uraaniydinten määrän selville isotoopin massan avulla, mU = 235,043925 u. Näytteessä on uraania m = 0,020 · 10 g = 0,20 g ja atomimassayksikkö voidaan kirjoittaa u = 1,660539 · 10-27 kg, joten uraaniydinten määräksi saadaan

Ajan myötä radioaktiivisten ydinten määrä vähenee. Vähenemisnopeus vastaa samalla kysymykseen kuinka paljon aine säteilee, eli kuinka monta hajoamista tapahtuu sekunnissa. Aineen aktiivisuus A määritellään radioaktiivisten ydinten määrän pienenemisnopeutena:

Aktiivisuudesta tulee positiivinen, sillä ydinten määrän muutosnopeus on negatiivinen (ne vähenevät).

eli ydinten määrän aikaderivaattana. Jos meillä on kuvaaja ydinten määrän kehityksestä, aktiivisuus saadaan siis (t, N)-kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakertoimena. Aineen aktiivisuus pienenee ajan myötä aivan kuten aktiivisten ydinten määräkin.

Jonkin pidemmän ajan ∆t yli voidaan määritellä aineen keskimääräinen aktiivisuus

Aktiivisuuden yksikkö on 1/s , jota tässä yhteydessä kutsutaan becquerelliksi (Bq). Aineen aktiivisuus on lisäksi suoraan verrannollinen radioaktiivisten ydinten määrään, eli voidaan kirjoittaa

missä λ on isotoopille ominainen hajoamisvakio. Ytimet siis vähenevät sitä nopeammin, mitä suurempi aineen hajoamisvakio on.

Emme tälläkään kurssilla ala sen enempää derivoimaan, mutta määritelmää tarvitaan sitä seuraavien tulosten johtamisessa.

Aktiivisuus on (t, N)- kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakertoimen vastaluku

Yhdistämällä tämä ja derivaatan sisältävä A:n määritelmä saadaan yhtälö

jossa lukee matematiikaksi sama kuin mitä jo päättelimme: hajoamisten määrä on suoraan verrallinen radioaktiivisten ydinten määrään.

Kuten saatat tietää matematiikasta, ainoa funktio, jonka derivaatta palauttaa saman funktion vakiolla kerrottuna on e-kantainen eksponenttifunktio. Näin ollen tämän yhtälön ratkaisu on

missä N₀ on ydinten määrä hetkellä t = 0. Tästä seuraa, että aineen aktiivisuudelle voidaan kirjoittaa samalla tavoin

missä A₀ on aktiivisuus hetkellä t = 0. Näitä kahta yhtälöä kutsutaan yhdessä radioaktiivisen aineen hajoamislaiksi.

Jos derivointi on sinulle tuttua, tarkista tulos. Muussa tapauksessa voit vain uskoa, että tämä on oikea ratkaisu.

Keskimääräinen aktiivisuus jollain aikavälillä.

Itse asiassa mikä tahansa systeemi, jossa suureen muutosnopeus riippuu sen arvosta kehittyy eksponentiaalisesti. Tällaisia systeemejä löytyy luonnosta paljon, joten e-kantainen eksponenttifunktio on yksi yleisimpiä fysiikassa vastaan tulevia funktioita. Sama pätee sen käänteisfunktioon, eli luonnolliseen logaritmiin (ln).

Radioaktiivisten ydinten määrän kehitys eri hajoamisvakioisilla aineilla. Mikä käyrä vastaa suurinta ja mikä käyrä pienintä hajoamisvakiota?

Puoliintumisaika ja radiohiiliajoitus

Aineen hajoamisvakioon liittyy toinen suure, aineen puoliintumisaika

joka kertoo kuinka kauan pitää odottaa, että puolet alkuperäisistä ytimistä on hajonnut. Puoliintumisajalle voidaan johtaa lauseke katsomalla milloin puolet ytimistä on jäljellä, eli mille t:n arvolle pätee

ja

Tästä voi ratkaista puoliintumisajan joko logaritmin määritelmän perusteella tai ottamalla luonnollisen logaritmin puolittain ja käyttämällä logaritmin laskusääntöjä:

Puoliintumisaikaa ja hajoamisvakiota yhdistävä yhtälö on siis:

Mitä suurempi on aineen hajoamisvakio λ, sitä lyhyempi on sen puoliintumisaika. Puoliintumisaika on riippumaton siitä, milloin kello laitetaan käyntiin, eli mistä tahansa ajasta lähdetäänkin on puoliintumisajan jälkeen puolet ytimistä jäljellä. Kahden puoleentumisajan päästä on jäljellä siis 1/4 alkuperäisestä ja niin edelleen.

Esimerkki: Radioaktiivisen näytteen aktiivisuudeksi mitattiin ensin A(t₁) = 560 Bq ja tuntia myöhemmin A(t₂) = 492 Bq. Määritä aineen puoliintumisaika.

Ratkaisu: Aineen aktiivisuudelle pätee hajoamislaki

Sovitaan alkuhetkeksi ensimmäinen mittaus, jolloin A₀ = 560 Bq. Jälkimmäiselle mittaukselle voidaan kirjoittaa yhtälö, josta ratkaistaan hajoamisvakio

Eri aineiden puoliintumisaikoja

Hajoamisvakion avulla voidaan laskea puoliintumisaika

Vastaus: Puoliintumisaika on noin 5 tuntia 20 minuuttia.

Tuntemattoman radioaktiivisen näytteen koostumusta voi tutkia mittaamalla sen aktiivisuuden kehitystä. Mahdollisesti vieläkin useammin on käytössä menetelmä, jossa kappaleessa tiedetään olevan tiettyä radioaktiivista isotooppia, jonka suhteellisesta määrästä voidaan päätellä sen ikä.

Radiohiiliajoitus

Yksi tapa ajoittaa tutkittavia orgaanisia, eli hiiltä sisältäviä, näytteitä on radiohiiliajoitus. Menetelmä perustuu hiilen isotooppi C-14 beetahajoamiseen

Isotoopin C-14 puoliintumisaika on noin 5708 vuotta.

Niiden vielä eläessä orgaanisiin yhdisteisiin päätyy kunakin aikana sama (minimaalisen pieni) osuus C-14-isotooppia, joka aiheuttaa hiileen aktiivisuuden massayksikköä kohden. Organismin kuoltua uutta hiiltä ei enää kerry, ja radioaktiivisen hiilen määrä alkaa pienentyä. Mittaamalla näytteen aktiivisuus nyt ja vertaamalla sitä historialliseen dataan C-14-isotoopin runsaudesta voidaan tehdä suurpiirteinen arvio näytteen iästä.

Radiohiiliajoitusta voidaan käyttää vain niin kauan kuin C-14-isotooppia on näytteessä sopivia määriä, ja silloinkin sillä saadaan näytteen ikä määritettyä enintäänkin noin sadan vuoden tarkkuudella. Näytteen pitää siis olla riittävän vanha, mutta ei kuitenkaan merkittävästi yli 50000 vuotta vanha. Vanhimmat luotettavat ajoitukset on onnistuttu tekemään noin 75000 vuotta vanhoille näytteille. Tämä määritysikkuna riittää ihmiskunnan historialle, mutta rajaa pois ihmiskuntaa edeltäneet ajat.

Esimerkiksi ydinkokeiden aloittaminen on lisännyt C-14-isotoopin runsautta ilmakehässä ja sitä myötä myös eliöissä.

Esimerkki: C-14-isotooppia arvioidaan olevan keskimäärin noin 1,25 atomia jokaista 10¹² hiilen yleisimmän isotoopin C-12-atomia kohden, eli isotooppisuhde

Mikä olisi 4000 vuotta vanhan hiilinäytteen aktiivisuus yhden gramman hiilinäytteessä, jos oletamme, että 4000 vuotta sitten isotooppisuhde oli sama kuin nyt?

Ratkaisu: Kysytty aktiivisuus saadaan radioaktiivisen hiiliatomien määrän ja hajoamisvakion avulla yhtälöstä

eli tarvitsemme nämä molemmat suureet. Ratkaistaan ensin hajoamisvakio puoliintumisajasta

Seuraavaksi ratkaistaan 146C-isotoopin määrä 4000 vuoden ikäisessä näytteessä. Yhdessä hiiligrammassa on hiiliatomeita noin

joista C-14-isotooppia on noin

Tämä on näytteessä alunperin olleen isotoopin lukumäärä. 4000 vuotta myöhemmin isotoopin määrä saadaan hajoamislain avulla

Nyt meillä on tarvittavat ainekset aktiivisuuden laskemiseen:

Vastaus: Näytteen aktiivisuuden voisi näillä oletuksilla ennustaa olevan noin 850 Bq

Tehtävät

Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen.

1. Taulukossa on erään radioaktiivisen aineen ydinten määrä tiettynä ajan hetkellä. Piirrä kuvaaja ja ratkaise aineen aktiivisuus ajanhetkellä t = 12 d.

0,0024 Bq

Katso malliratkaisut.

2. Tritiumia sisältävän näytteen aktiivisuus on 140 kBq ajanhetkellä t = 0. Ratkaise, mikä on saman näytteen aktiivisuus viiden vuoden päästä kun tritiumin puoliintumisaika on 12,3 vuotta.

105,6 kBq

3. Määritä hajoamisvakio, kun radioaktiivisen näytteen aktiivisuus puolittuu 25 minuutissa.

4,62 · 10⁻⁴ 1/s

4. Haluat selvittää orgaanisen, arkelolgisen näytteen iän ja käytät tarkoitukseen radiohiiliajoitusta. Mittauksesta selviää, että C-14 -isotooppia on jäljellä 87 % vastaavasta elävän kudoksen määrästä. Kuinka vanha näytteesi on?

1150 a

5. Kuinka suuri prosenttiosuus C-14 -isotoopista on jäljellä fossiilissa, joka on 17000 vuotta vanha?

13%