Lämpökapasiteetti ja ominaislämpökapasiteetti

Miten siirtyneen lämmön suuruutta voidaan mitata?

Lähdetään liikkeelle vesiastian lämmittämisestä vakiotehoisella liedellä. Mitataan lämmitettävän vesimäärän massa m ja eristetään systeemi mahdollisimman hyvin niin, että kaikki lieden tuottama energia siirtyy veden sisäenergiaksi. Kasvava sisäenergia nähdään kasvavana lämpötilana, joten mitataan veden lämpötilaa ajan funktiona.

Kokeellisesti voidaan havaita, että vakioteholla lämmitettäessä veden lämpötila muuttuu tasaisesti. Lisäksi huomataan, että veden lämpenemisnopeus ( ∆T/∆t ) riippuu kahdesta asiasta: veden määrästä (massa m) ja lämmitykseen käytetystä tehosta P. Mitä suurempi teho ja mitä pienempi massa, sitä nopeammin vesi lämpenee. Näille suureille pätee verranto

missä c on jokin verrannollisuuskerroin.

Käytetään lopuksi vielä tehon määritelmää P = Q/∆t , jolloin saadaan yhtälö lämpötilan muutoksen ∆T ja lämpömäärän Q välille:

Jos vertaat saatua yhtälöä lämpölaajenemisen yhtälöihin, ne ovat samaa muotoa. Esimerkiksi pituuden lämpölaajenemiseen verrattuna lämpömäärää laskettaessa aineen massa korvaa pituuden ja ominaislämpökapasiteetti korvaa lämpötilakertoimen.

Saimme siis johdettua laskukaavan aineen sisäenergian kasvun ja lämpötilan muutoksen välille.

Q = cm∆T

Haluttuun lämpötilan muutokseen tarvittava lämpömäärä riippuu aineen massasta. Mitä enemmän vettä, sitä hitaammin se lämpenee. Tämä on helppo ymmärtää mikrotasolla: Lisääntynyt sisäenergia kasvattaa vesimolekyylien liikettä. Jos vesimolekyylejä on kaksi kertaa enemmän, tarvitaan lämpöäkin kaksi kertaa enemmän, jotta sama lämpöliike saadaan aikaan.

Verrannollisuuskerroin c riippuu käytetystä aineesta ja sitä kutsutaan aineen ominaislämpökapasiteetiksi. Ominaislämpökapasiteetti kertoo meille kuinka monta joulea energiaa tarvitaan, jotta 1 kg ainetta voidaan lämmitään yhden kelvin-asteen verran. Sen yksikkö on J/(kgK). Usein ominaislämpökapasiteetit ovat sen verran suuria, että ne ilmoitetaan yksiköissä kJ(kgK). Esimerkiksi veden ominaislämpökapasiteetti on melko suuri (cvesi = 4,19 kJ/(kgK)), mikä tarkoittaa, että annetun vesimäärän lämmittäminen vaatii paljon lämpöä.

Ominaislämpökapasiteetti riippuu jonkin verran aineen lämpötilasta. Esimerkiksi huoneenlämpöisen veden ominaislämpökapasiteetin arvo on noin 4,184 kJ/(kgK) , mutta se kasvaa hiukan lämpötilan noustessa. Useimmissa laskuissa käytetään keskimääräistä arvoa 4,19 kJ/(kgK).

Jos aineen ominaislämpökapasiteetti (ja massa) tunnetaan, voimme määrittää siihen siirtyvän energian määrän mittaamalla aineen lämpötilan muutoksia. Jos aineeseen siirtyy lämpöä, voidaan sen määrä jouleina laskea helposti yllä olevalla kaavalla, kunhan ensin mitataan sen massa ja lämpötilan muutos.

Esimerkki: Lämmität kattilaa, jossa on 3,5 litraa vettä. Liesi toimii teholla 900 W ja oletetaan kaiken energian kuluvan veden lämpenemiseen. Kuinka kauan kestää ennen kuin vesi on kiehuvaa, jos se on aluksi huoneenlämpöistä (21 ºC)?

Ratkaisu: Veden ominaislämpökapasiteetti on cvesi = 4,19 kJ/(kgK) , sen massa on noin 3,5 kg ja tarvittava lämpötilan muutos on ∆T = (100 − 21) K = 79 K (lämpötilaerot ovat yhtä suuria Celsius- ja Kelvin-asteikolla).

Näiden tietojen avulla voidaan laskea ensin tarvittava lämpömäärä

Tämän avulla voidaan laskea tarvittava aika, kun teho tunnetaan

Vastaus: Veden lämmittäminen kiehuvaksi kestää noin 21 min.

Esimerkki: Tuntematonta nestettä tutkitaan ensin punnitsemalla massaksi m = 1,60 kg ja sitten lämmittämällä sitä vakiotehoisella liedellä (P = 900 W). Jotta neste saatiin lämpiämään 20 astetta, kului aikaa 87 sekuntia. Mitä ainetta aine todennäköisesti on?

Ratkaisu: Tunnemme tehon ja lämmitysajan, joten voimme aluksi laskea tässä ajassa siirtyvän lämpömäärän:

Q = P · ∆t = 900 W · 87 s = 78,3 kJ

Nyt tunnetaan lämpömäärän lisäksi myös massa ja lämpötilan muutos, joten ominaislämpökapasiteetti voidaan laskea

Verrataan tunnettujen nesteiden taulukoituihin ominaislämpökapasiteetteihin ja huomataan, että yksi sopiva aine on etanoli (joka on laboratorio-olosuhteissa neste). Koska useammalla aineella voi olla suurin piirtein sama ominaislämpökapasiteetti, voi jatkotutkimuksia tehdä esimerkiksi haistamalla.

Vastaus: Neste voisi olla esimerkiksi etanolia.

Esimerkki: Kaksi vesiastiaa suljetaan eristettyyn laatikkoon ja odotetaan kunnes niiden lämpötilat ovat tasaantuneet (lämpöopin II pääsäännön mukaisesti). Ensimmäisessä astiassa on 0,50 litraa 80 ºC vettä ja toisessa astiassa 0,80 litraa 20 º C vettä. Mikä on astioiden loppulämpötila?

Ratkaisu: Kuuma astia luovuttaa kylmälle astialle lämpömäärän Q. Astioille pätee yhtälöt

ja kummankin loppulämpötila on sama T, eli

∆T1 = T − T1

∆T2 = T − T2,

missä T1 ja T2 ovat astioiden alkulämpötilat. Ensimmäisen astian lämpötilan muutos on negatiivinen ja toisen positiivinen. Merkki näkyy nyt myös lämpömäärissä, ensimmäisestä tulee negatiivinen. Itseisarvoltaan ne ovat kuitenkin energian säilymislain mukaan yhtä suuret, joten

−Q1 = Q2

Ottamalla miinus-merkki näin huomioon, voidaan kirjoittaa yhtälö:

Tässä yhtälössä tunnetaan kaikki muut suureet paitsi loppulämpötila T. Avaamalla sulkeet ja pyörittämällä termejä (tai käyttämällä CAS-laskinta) saadaan ratkaistua T

Vastaus: Astioiden loppulämpötila on noin 42 ºC. Loppulämpötila on alkulämpötilojen massoilla painotettu keskiarvo.

Kaasujen ominaislämpökapasiteetti ja laajenevan kaasun tekemä työ

Edellä oletimme, että aineen lämmetessä kaikki energia muuttuu aineen lämpöliikkeeksi, joka näkyy lämpötilan muutoksena. Tämä toteutuu melko hyvin silloin, kun aineen tilavuus ei merkittävästi muutu. Jos taas lämmitettäessä tapahtuu merkittävää lämpölaajenemista, osa energiasta kuluu siihen työhön, jonka aine tekee ”työntäessään” ympäröivää ainetta pois tieltään. Nesteiden ja kiinteiden aineiden lämpölaajeneminen on yleensä niin pientä, että se voidaan jättää huomiotta, mutta kaasuilla vaikutus on merkittävä.

Kuten näemme seuraavassa kappaleessa tarkemmin, silloin kun kaasu laajenee lämmetessään siten, että sen tilavuus pääsee vapaasti kasvamaan, suuri osa energiasta kuluu tähän laajenemistyöhön. Kun tilavuus laajenee vapaasti, pysyy kaasun paine vakiona (esimerkiksi ilmapallossa se on aina yhtä suuri kuin ulkoinen paine). Tällöin puhutaan kaasun ominaislämpökapasiteetista vakiopaineessa, jonka symboli on cp.

Kaasun laajetessa energiaa menee jonkin verran myös rakenneosasten välisten vuorovaikutusten muutoksiin. Tämä energia on eri kaasuille eri suuruinen, joten vaikka kaasun laajetessaan tekemä työ on kaikille sama, kokonaisvaikutus vaihtelee kaasujen välillä.

Jos taas kaasun tilavuus pysyy lämmitettäessä vakiona (kaasu on esimerkiksi suljettu kiinteään säiliöön), sen paine nousee. Tällöin käytetään ominaislämpökapasiteettia vakiotilavuudessa, jota merkitään symbolilla cV. Kun tilavuus ei muutu, kaasu ei tee ulkoista työtä ja lämpötilan nostamiseen tarvitaan vähemmän energiaa. Tästä syystä cV on pienempi kuin cp.

Taulukkokirjoissa on tyypillisesti annettu kullekin kaasulle vain toinen näistä ominaislämpökapasiteeteista sekä suhde cp/cV , joka siis on ykköstä suurempi (tai päinvastainen suhde, joka on ykköstä pienempi). Esimerkiksi MAOLin taulukkokirjassa on kaasuille listattu cp-arvot ja suhde cp/cV . Saadaksesi käyttöön arvon cV pitää cp jakaa tuolla suhdeluvulla:

Varmista siis, että osaat lukea käytössä olevasta taulukkokirjasta oikeat ominaislämpökapasiteetin arvot.

Laajenevan kaasun tekemä työ

Otetaan laajenevaa ilmapalloa yksinkertaisempi tilanne, jossa lämpenevä kaasu pääsee laajenemaan vain yhteen suuntaan. Tämä voidaan tehdä esimerkiksi niin, että kaasun sisältämän astian yksi seinämä pääsee liikkumaan vapaasti, kun muut seinät pysyvät paikallaan. Liikkuva seinä voidaan vielä asettaa vaakatasoon, jolloin sen potentiaalienergiaa ei tarvitse erikseen huomioida.

Kuvitellaan oheisen kuvan mukainen tilanne. Lämmitetään astiassa olevaa kaasua tietty määrä ∆T ja katsotaan kuinka paljon kaasun tilavuus on muuttunut ∆V, eli kuinka paljon seinämä on liikkunut ∆x. Jos seinämän pinta-ala on A, voidaan tilavuuden muutos kirjoittaa:

∆V = A · ∆x

Koska tilavuus pääsee kasvamaan vapaasti, vallitsee astiassa koko lämmityksen ajan vakiopaine p, joka on sama kuin ulkoinen ilmanpaine. Tämä paine kohdistaa liikkuvaan seinämään vakiovoiman F, jonka suuruus voidaan kirjoittaa paineen määritelmän avulla

Kaasu laajenee lämmetessään, samalla se tekee työtä.

Tämä vakiovoima vaikuttaa seinämään liikkeen suuntaisesti matkan ∆x, joten se tekee työtä ympäristöön. Tämän työn suuruus voidaan nyt kirjoittaa tilavuuden muutoksen avulla:

Koska kaasu tekee työtä ympäristöön (eikä toisinpäin), on tämän työn suuruus pois kaasun sisäenergiasta. Tätä korostetaan usein määrittelemällä laajenevan kaasun tekemä työ negatiiviseksi:

W = −p∆V

Jos kaasua jäähdytetään, sen tilavuus pienenee (∆V < 0) ja työstä tulee positiivinen.

Muista, että tämä tulos pätee vain silloin, kun kaasun paine ei pääse muuttumaan. Jos tilavuus ei muutu, ei kaasu tee työtä, sillä ei ole sellaista siirtymää, jonka matkan jokin voima vaikuttaisi.

Esimerkki: 1,0 kg etanolia höyrystetään liedellä, jonka teho on 1800 W. Höyrystäminen kestää 8,0 min ja muodostuvan kaasun tilavuudeksi mitataan 2,0 m³. Arvioi kuinka paljon etanolin sisäenergia on muuttunut höyrystyessä, kun oletetaan kaasun paineen olevan koko prosessin ajan 1,0 bar.

Ratkaisu: Voidaan laskea erikseen höyrystämiseen käytetty energia ja kaasun laajetessaan tekemä työ. Liesi tuotti lämpöä:

ja kaasu teki laajetessaan työn (alkuperäinen tilavuus voidaan olettaa nollaksi verrattuna muodostuvan kaasun tilavuuteen)

Lämpöopin I pääsäännön mukaan systeemin sisäenergian muutos on siihen tuodun lämmön ja tehdyn työn summa. Tässä tapauksessa:

∆U = Q + W = 864 kJ − 200 kJ = 664 kJ

Vastaus: Etanolin sisäenergia on kasvanut noin 664 kilojoulea. Energia kuluu pääasiassa aineen rakenneosasten sidosten rikkomiseen.

Lämpökapasiteetti

Usein meillä on tilanne, jossa lämmitetään tunnetun massaista kappaletta tai tällainen kappale luovuttaa lämpöä pois. Kappale saattaa koostua useista eri aineista, jolloin sille ei ole olemassa taulukoitua ominaislämpökapasiteettia ja edellä esitetty lasku ei ole mahdollinen.

Kappaleelle voidaan kuitenkin määrittää lämpökapasiteetti, joka kertoo kuinka paljon lämpöä riittää muuttamaan sen lämpötilaa yhdellä asteella. Lämpökapasiteetille käytetään symbolia C ja sen yksikkö on J/K.

Q = C · ∆T

Toisin kuin ominaislämpökapasiteetti, lämpökapasiteetti ei riipu massasta. Kappaleen massan oletaan pysyvän vakiona ja meitä kiinnostaa vain kuinka paljon energiaa kappaleen lämmittäminen vaatii. Ominaislämpökapasiteetti ja lämpökapasiteetti menevät keskenään helposti sekaisin, joten ole tarkkana aina kun käytät näitä termejä.

Esimerkki: Kappaletta lämmitetään vakiotehoisella liedellä 150 s, jona aikana sen lämpötila nousee 15,4 astetta. Kuinka kauan lämmitystä pitää jatkaa, jotta lämpötila on noussut yhteensä 50,0 astetta, kun oletetaan ettei kappaleen olomuodossa tapahdu muutoksia?

Ratkaisu: Ajan ∆t1 = 150 s aikana kappaleeseen on siirtynyt joku lämpömäärä Q1 ja lämpötila on noussut määrän ∆T1. Jos kirjoitamme lämpökapasiteetin yhtälön tehon avulla

näemme, että käytetty aika ja lämpötilan muutos ovat suoraan verrannollisia suureita silloin kun kappaletta lämmitetään vakioteholla. Lämpökapasiteetilla on jonkin vakioarvo, jota meidän ei tarvitse tietää tässä ongelmassa. Jäljellä olevalle ajalle ∆t2 voidaan siten kirjoittaa verranto:

Vastaus: Lämmittämistä tulee jatkaa noin 337 sekuntia.

Tehtävät

Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen.

1. Puhuttaessa siirtyvän lämmön suuruudesta puhutaan lämpökapasiteetista ja omainaislämpökapasiteetista.

a) Selitä mitä tarkoittaa käsite ominaislämpökapasiteetti.

b) Etsi internetistä millä aineella on suurin ominaislämpökapasiteetti.

c) Montako joulea energiaa tarvitaan lämmittämään 9,5 kiloa vettä 15 celsiusastetta?

a) Ominaislämpökapasiteetti kuvaa, kuinka paljon lämpöenergiaa materiaaliin sitoutuu lämpötilaeroa ja massaa kohti.

b) Katso mallivastaukset.

c) 600 J

2. Lämmität kattilaa, jossa on 3,5 litraa vettä. Liesi toimii teholla 900 W ja oletetaan lieden hyötysuhteen η olevan 0,89. Kuinka kauan kestää ennen kuin vesi on kiehuvaa, jos se on aluksi huoneenlämpöistä (21 °C)?

24 minuuttia

3. Kuinka paljon energiaa tarvitaan lämmittämään 15 celsiusasteisesta 100 celsiusasteiseksi tyhjä 55 kilon painoinen saunapata, joka on valmistettu raudasta? Kuinka paljon tarvitaan energiaa yhteensä jos padassa on 40 litraa vettä?

2100 kJ, 16000 kJ

4. Kaksi vesiastiaa suljetaan eristettyyn systeemiin. Toisessa vesiastiassa on 1,2 litraa 75 celsiusasteista vettä ja toisessa 3,2 litraa 15 celsiusasteista vettä.

a) Mitä luulet astioiden lämpötiloille tapahtuvan? Miten perustelet tämän?

b) Mikä on vesiastioiden loppulämpötila?

a) Lämpöopin II:n pääsäännön mukaiset lämpötilat tasaantuvat.

b) 69 °C.

5. 0,5 kg typpikaasua on huoneenlämmössä. Kaasua lämmitetään vakiopaineessa, jolloin siihen siirtyy 5555 J nergiaa. Mikä on kaasun lämpötila lämmityksen päätyttyä?

32 °C.

6. Oletetaan 60 kiloisen Maijun käyttävän ylimääräiset 700 kJ energiaa hänen ruumiinlämpönsä noustessa 36,5 °C:sta 40,0 °C:een. Laske Maijun lämpökapasiteetti.

220 kJ/K.

7. Oletetaan sylinterin muotoisessa astiassa olevan typpikaasua vakiopaineessa 1,0 bar. Kaasua aletaan lämmittää ja sylinterin kitkaton mäntä nousee 5 cm. Männän pinta-ala on 15 m². Kaasua lämmitettiin teholla 1500 W. Kuinka kauan kaasua lämmitettiin, jos lämpötilan muutos on pieni, jolloin kaikki energia kului kaasun laajenemiseen?

50 sekuntia


8. Kaasun tilavuus on 0,75 m³. Se laajenee vakiopaineessa saavuttaen uuden tilavuuden 3,2 m³. Laske kaasun laajetessaan tekemä työ, kun ulkoinen paine on 3,5 bar.

980 kJ

9. Kuvassa on sylinteri, jossa on kaasua. Sylinterin säde on 40 cm ja alkuperäinen korkeus 70 cm (merkitty punaisella). Sylinterissä olevaa kaasua, jonka paine on 3 baria aletaan lämmittää, jolloin siihen siirtyy lämpömäärä Q = 50 000 J. Laske kaasun sisäenergian muutos kun sylinterin mäntä nousee 30 cm (merkitty vihreällä).

4,8 kJ