Jännite ja sähkövirta virtapiireissä

Virtapiirejä rakennellessa meitä kiinnostaa usein virtapiirin eri osissa kulkevien sähkövirtojen suuruudet sekä eri komponenttien jännitehäviöt. Saatamme esimerkiksi haluta tiettyyn komponenttiin juuri tietyn suuruisen virran oikealla jännitteellä. Yksinkertaisimmissa tapauksissa tähän riittää Ohmin lain soveltaminen, mutta mutkikkaammissa piireissä laskut vaikeutuvat. Hankalimmat laskuja voidaan tehdä nykyisin tietokoneella, mutta on hyvä tuntea laskuohjelmiin piilotetut fysikaaliset periaatteet. Tarvittavat yhtälöt saadaan kirjoitettua niin kutsuttujen Kirchhoffin lakien avulla.

Kokeile virtapiirien rakentelua osoitteessa https://phet.colorado.edu/en/simulation/ circuit-construction-kit-dc-virtual-lab

Miten selvittäisit piirin eri osissa kulkevat sähkövirrat ja komponenttien jännitehäviöt?

Kirchhoffin I laki

Suljetussa virtapiirissä jännitelähteen positiiviselta navalta kulkee negatiiviselle navalle tietty määrä sähkövirtaa. Sähkövirtaa ei katoa matkalla (sillä sähkövaraukset eivät katoa). Samoin jos meillä on virtapiiri, joka haarautuu kahteen osaan ja palaa myöhemmin yhteen, kaikki virta joka tulee haarautumiskohtaan tulee myös siitä ulos.

Testataan tämä esimerkki-koejärjestelyllä: Kytketään jännitelähteeseen rinnakkain kaksi samanlaista lamppua ja mitataan sähkövirrat sekä jännitelähteen vierestä (I₁), että kummankin lampun vierestä (I₂ ja I3). Ennakko-oletuksen mukaan meillä pitäisi siis olla

I₁ = I₂ + I₃

Samaa voidaan tietenkin kokeilla eri jännitteillä. Virrat kasvavat, mutta oikeanpuolen summa antaa aina vasemman puolen. Yleisemmin voidaan todeta, että jos sähkövirran haarautumiskohtaan tulee virrat I₁ ,I₂,...Iₙ ja siitä lähtee virrat Iₐ,...Iₘ, niin tulevien virtojen summa on sama kuin lähtevien virtojen summa:

I₁ + I₂ +...+ Iₙ = I+...+ Iₘ

Tätä kutsutaan Kirchhoffin I laiksi. Se perustuu siihen ettei sähkövarausta (eikä siten myöskään sähkövirtaa) katoa matkan varrella.

Virta jakautuu haarautumiskohdassa.

Esimerkki: Kuinka suuri on oheisessa virtapiirissä kulkeva virta I?

Ratkaisu: Sähkövirran haarautumiskohdassa on voimassa Kirchhoffin I laki, jonka mukaan

Vastaus: Kysytyn virran I suuruus on noin 0,6 mA.

HUOM! Kirchhoffin I laki ei edellytä Ohmin lain voimassaoloa, vaan pätee kaikille virtapiireille.

Virtapiirin kytkentäkaavio ja siinä kulkevat virrat.

Kirchhoffin II laki

Kirchhoffin I laki on yksinkertainen ja helppo käyttää (kunhan muistaa sen perusidean). Kirchhoffin II laki on sekin yksinkertainen, mutta usein hankalampi käyttää kuin I laki. Laki on suoraa seurausta siitä, että koska jännite on kahden pisteen välinen potentiaaliero, jännite pisteen A ja saman pisteen A välillä on nolla (sillä potentiaalieroa ei tietenkään ole).

Kirchhoffin II laki: suljetussa virtapiirissä potentiaalimuutosten summa on nolla jokaisella suljetulla kierroksella. Tämä on totta kaikkia mahdollisia suljettuja lenkkejä pitkin kuljettaessa. Toisin sanoen virtapiirissä tapahtuvien jännitehäviöiden summa on (suljetulla reitillä) sama kuin lähdejännitteiden summa.

Mutkikkaammissa virtapiireissä laki pätee kaikille suljetuille virtasilmukoille, sillä pisteen potentiaaliero itsensä kanssa on aina oltava nolla. Usein haluttuja sähkövirtoja ja jännitehäviöitä laskettaessa tarvitaan:

1. Kirchhoffin I laista sähkövirroille yksi tai useampi yhtälö.

2. Kirchhoffin II laista jännitteille yksi tai useampi yhtälö.

Nämä yhtälöt muodostavat yhtälöryhmän, josta halutut tuntemattomat voidaan ratkaista. Palaamme hankalimpiin virtapiiriongelmiin myöhemmin.

Myöskään Kirchhoffin II laki ei edellytä Ohmin lakia, vaan se pätee kaikissa piireissä.

Kuinka monta suljettua kierrosta löydät kuvan virtapiiristä? Jokaiselle voi kirjoittaa Kirchhoffin II lain mukaisen yhtälön.

Esimerkki: Tasajännitelähteeseen on kytketty rinnan kaksi vastusta, joiden resistansseille pätee

Missä suhteessa virtapiirissä kulkeva virta jakautuu kulkemaan vastuksien läpi?

Ratkaisu: Kirchhoffin I lain mukaan on ensinnäkin voimassa yhtälö

I₁ = I₂ + I₃

Kirchhoffin II lain mukaan alemmassa suljetussa renkaassa on voimassa Ohmin lain mukainen yhtälö

U = I₂R₁

ja ylemmälle vastukselle voidaan vastaavasti kirjoittaa

U = I₃R₂

Nämä kaksi yhtälöä yhdistämällä saadaan virrat toisiinsa yhdistävä yhtälö

Esimerkin kytkentäkaavio.

Vastaus: Pienemmän vastuksen yli kulkee kaksinkertainen virta suurempaan vastukseen verrattuna. Sähkövirta kulkee mieluiten sieltä, missä vastusta on vähiten.

Vastusten sarjaan- ja rinnankytkennät

Kun haluamme ratkoa virtapiirissä kulkevan sähkövirran suuruutta, on usein hyödyllistä käyttää valmiita laskukaavoja useamman komponentin kokonaisresistanssin määrittämiseen. Ensimmäistä näistä voi käyttää sarjaankytketyille ja jälkimmäistä rinnankytketyille vastuksille. Joissain tilanteissa tarvitsee käyttää molempia vuorotellen.

Sarjaankytketyt vastukset

Katsotaan virtapiiriä, jossa on ainoastaan sarjaankytkettyjä komponentteja. Jotta voimme huoletta käyttää Ohmin lakia, käytetään lamppujen sijasta vastuksia. Otetaan esimerkin vuoksi vaikkapa kolme vastusta. Vastuksilla on resistanssit (R₁,R₂,R₃) ja niiden kaikkien läpi kulkee sama virta I. Vastusten jännitehäviöt voidaan laskea Ohmin lain avulla

Kirchhoffin II lain mukaan vastusten jännitehäviöiden summa on sama kuin napajännite U:

Sarjaankytketyt vastukset.

Käyttämällä Ohmin lakia voimme kirjoittaa tämän hieman eri muodossa

Jos korvaisimme nämä kolme vastusta yhdellä vastuksella, jonka resistanssi on

kulkisi piirissä sama sähkövirta.

Toisin sanoen, jos haluamme tietää vain kuinka suuri on virtapiirissä (tai sen osassa) kulkeva sähkövirta, on useimmiten hyödyllistä ajatella sarjaankytkettyjen vastusten paikalle yksi vastus, jonka resistanssi on näiden vastusten resistanssien summa. Käyttämällä tuon yhden suuren vastuksen resistanssia Ohmin laissa, on virta yleensä yksinkertaisempaa ratkaista (etenkin monimutkaisissa virtapiireissä).

Yleisessä tapauksessa, jos sarjaankytkettyjä vastuksia on n kappaletta ja niiden resistansseja merkitään Ri, saadaan niiden kokonaisresistanssi R summaamalla vastusten resistanssit yhteen

Kolme vastusta korvattu yhdellä.

Esimerkki: 3,0 V jännitelähteen kanssa on kytketty sarjaan kolme vastusta, joiden resistanssit ovat

Esimerkin kytkentäkaavio

Määritä kunkin vastuksen jännitehäviö.

Ratkaisu: Tilanne on samanlainen kuin yllä. Saadaksemme vastusten jännitehäviöt Ohmin lain avulla, tarvitsemme ensin piirissä kulkevan sähkövirran suuruuden. Se saadaan myös Ohmin lailla, kunhan ensin ”yhdistetään” vastukset yhdeksi vastukseksi, eli lasketaan sarjaankytkettyjen vastusten kokonaisresistanssi:

Tämän avulla saadaan laskettua sähkövirran suuruus:

ja sähkövirran avulla saamme yksittäisten vastusten jännitehäviöt

Vastaus: Vastusten jännitehäviöt ovat noin 0,7 V, 1,0 V ja 1,3 V.

Rinnankytketyt vastukset

Rinnankytkettyjen vastusten tilanne on hieman monimutkaisempi, sillä eri vastusten kautta kulkee nyt erisuuruiset sähkövirrat.

Otetaan taas esimerkin vuoksi kolme vastusta, tällä kertaa rinnankytkettyinä. Jokaiseen menee eri määrä sähkövirtaa, mutta jokaisen jännitehäviö on sama. Tällä kertaa vastuksille (R₁,R₂,R₃) pätee siis Ohmin lain mukaiset yhtälöt

Korvataan jälleen kolme vastusta yhdellä vastuksella, jolle pätee vastaava yhtälö

Kolmen vastuksen rinnankytkentä.

Kolme vastusta korvattu yhdellä

Alkuperäisestä kuvasta voimme kirjoittaa yhtälön jakautuvalle virralle Kirchhoffin I lain avulla:

Sijoitetaan virtojen paikalle niiden lausekkeet jännitteen ja resistanssien avulla kirjoitettuina:

Voimme ratkaista yhdistelmän resistanssin laventamalla oikealla puolella murtoluvut samannimisiksi ja ratkaisemalla kokonaisresistanssin R:

Testaa itse saatko kaavat johdettua!

Yleisessä tapauksessa rinnankytkettyjen vastusten (Ri) kokonaisresistanssille (R) pätee

Rinnankytkennässä kokonaisresistanssista R tulee aina pienempi kuin yksikään yksittäisistä rinnankytketyistä vastuksista. Tämän voi ymmärtää intuitiivisesti: sähkövirran kulku helpottuu aina, jos sille avataan entisen lisäksi myös rinnakkainen kaista kuljettavaksi.

Esimerkki: Jännitelähteeseen (U = 9,0 V) on kytketty neljä samanlaista vastusta oheisen kuvan mukaisesti. Mikä on virtapiirissä kulkevan virran suuruus, kun jokaisen vastuksen resistanssi on 100 Ω?

Ratkaisu: Pyritään laskemaan neljän vastuksen kokonaisresistanssi. Aloitetaan yhdistämällä kolme rinnankytkettyä vastusta yhdeksi, niiden kokonaisresistanssi Rr saadaan rinnankytkettyjen vastusten kokonaisresistanssin laskukaavalla:

Miten määrität neljän vastuksen kokonaisresistanssin ja virtapiirissä kulkevan sähkövirran suuruuden

Kolmen vastuksen yhdistelmä on kytketty sarjaan neljännen vastuksen kanssa, jolloin sen resistanssi summataan edelliseen tulokseen:

Nyt kun meillä on neljän vastuksen muodostaman osan kokonaisresistanssi, saamme virtapiirissä kulkevan sähkövirran suuruuden Ohmin lain avulla:

Vastaus: Virtapiirissä kulkee noin 68 mA suuruinen sähkövirta.

Napajännite ja lähdejännite - jännitelähteen sisäinen resistanssi

Tehdään seuraavaksi fysiikalle tyypillinen kokeellinen mittaus yhdistettynä yksinkertaiseen matemaattiseen analyysiin. Ilmiö ei ehkä itsessään ole kovin kiinnostava, mutta menetelmä on tärkeä ja sitä kannattaa harjoitella, koska se ei ole aivan intuitiivinen.

Jokaisessa jännitelähteessä on jonkin verran sisäistä resistanssia, eli jännitelähde itse vastustaa hieman virran kulkua. Tämä nähtiin jo aiemmin (kuormittamattoman) lähdejännitteen ja (kuormitetun) napajännitteen erona - katsotaan nyt tätä eroa tarkemmin.

Jännitelähteen sisäisen resistanssin voi ottaa huomioon erottamalla sisäisen resistanssin (resistanssi Rs) omaksi pieneksi vastuksekseen, joka on kytketty sarjaan ideaalin (ilman resistanssia olevan) jännitelähteen kanssa (jännite E). Lähdejännitettä E ei voida suoraan mitata, sillä sisäinen resistanssi häiritsee tällaista mittausta aina jonkin verran. Mittaus kuitenkin onnistuu epäsuorasti mittaamalla piirissä kulkevan virran muutosta, kun piirin resistanssia kasvatetaan.

Tehdään seuraavanlainen yksinkertainen koejärjestely: Jännitelähde kytketään sarjaan säätövastuksen kanssa ja mitataan sekä piirissä kulkevaa virtaa (I), että säätövastuksessa tapahtuvaa jännitehäviötä. Virtapiirissä on vain yksi vastus, joten vastuksen jännitehäviö on sama kuin jännitelähteen napajännite.

Jännitelähteen sisäinen resistanssi voidaan ajatella erillisenä vastuksena. Ilman tämän sisäisen vastuksen vaikutusta napajännite U olisi yhtä suuri kuin lähdejännite E.

Kokeen idea: Kirchhoffin II lain mukaan lähdejännite on yhtä suuri kuin piirin jännitehäviöiden summa. Eli lähdejänniteestä saatava volttimäärä jakautuu sisäisen resistanssin ja säätövastuksen jännitehäviöiksi. Kun säätövastuksen resistanssia kasvatetaan, yhä suurempi osa jännitehäviöstä tapahtuu siinä. Näiden kahden suhdetta tarkkailemalla saadaan selville sisäisen resistanssin suuruus.

Otetaan erikseen huomioon jännitelähteen sisäinen resistanssi, kirjoitetaan Kirchhoffin II lain mukainen lauseke ja muokataan sitä hieman siirtämällä termejä:

Tämä on jälleen suoran yhtälö (vertaa y = kx +b), tällä kertaa (I,U)koordinaatistossa. Jos siis mittaamme sähkövirran ja säätövastuksen jännitehäviön eri arvoja, voidaan mittaustuloksiin sovittaa suora, josta voidaan lukea

1. Jännitelähteen sisäinen resistanssi Rs suoran kulmakertoimen vastalukuna.

2. Jännitelähteen lähdejännite E suoran ja U-akselin leikkauspisteenä.

Saatua kuvaajaa kutsutaan jännitelähteen kuormituskäyräksi.

4,5 V pariston kuormituskäyrä. Mitä pienempi sähkövirta piirissä kulkee, sitä lähemäpänä napajännite on lähdejännitettä.

Kuvan esimerkkimittauksessa pariston lähdejännitteeksi on mitattu noin 4,5 V ja pariston sisäiseksi resistanssiksi noin 0,93 Ω.

Aiemmin näimme, että lähdejännite saadaan kuormittamatomasta jännitelähteestä ja napajännite kuormitetusta jännitelähteestä. Tämän tutkimuksen avulla saamme myös toisen tulkinnan: kun lähdejännitteestä vähennetään sisäisen resistanssin aiheuttama jännitehäviö, saadaan napajännite. Napajännite on siis se jännite, joka saadaan kun sisäisen resistanssin aiheuttama jännitehäviö on otettu huomioon

Jännitelähteiden sarjaan- ja rinnankytkentä

Aiemmin johdimme kätevät laskukaavat sarjaan- ja rinnankytkettyjen vastusten kokonaisresistansseille. Myös jännitelähteitä voi kytkeä eri tavoin yhteen, joten johdetaan myös niille omat laskukaavansa.

Jännitelähteiden sarjaankytkentä

Jos kytkemme esimerkiksi paristoja siten, että edellisen pariston plus-napa kytketään seuraavan miinus-napaan, on kyseessä sarjaankytkentä. Tällöin jokainen niistä lisää virtapiirin potentiaalia napajännitteensä verran, eli niiden yhteenlaskettu napajännite U saadaan yksinkertaisesti summana

missä U₁,U₂,... ovat yksittäisten jännitelähteiden napajännitteet. Lisäämällä sarjaankytkettyjä jännitelähteitä kasvatamme jännitteen lisäksi myös piirissä kulkevaa sähkövirtaa. Tästä seuraa esimerkiksi se, että piiriin lisätty lamppu palaa sitä kirkkaammin, mitä enemmän jännitelähteitä lisätään.

Jos haluamme puhua yhteenlasketusta lähdejännitteestä E, tulee meidän ottaa huomioon sisäisten resistanssien aiheuttamat jännitehäviöt. Jokaisen pariston kohdalla tämä tarkoittaa napajännitteen korvaamista lähdejännitteellä, joten myös niille pätee

Jos haluamme puhua koko paketin yhteisestä sisäisestä resistanssista Rs, käytämme luonnollisesti sarjaankytkettyjen vastusten laskukaavaa:

Lamppu palaa kirkkaammin kuin yhdellä jännitelähteellä.

Paristojen sisäiset resistanssit summautuvat sarjaankytkennässä.

Paristoja on mahdollista kytkeä myös ”väärinpäin,” eli esimerkiksi kaksi paristoa sarjaan ja kolmas siten, että sen plus-napa tulee edellisen plus-napaan. Tällöin kahden edellisen kanssa ”väärinpäin” sarjaankytketty paristo vähentää potentiaalia, eli se toimii kuten vastus, jonka jännitehäviö on sen napajännitteen suuruinen.

Esimerkki: Piirrä oheisen kuvan kytkentäkaaviota vastaava potentiaalikuvaaja, kun jännitelähteiden napajännitteet ovat kukin 2,0 V ja niiden sisäiset resistanssit jätetään huomiotta.

Palaako tämä lamppu kirkkaammin kuin yhdellä jännitelähteellä, jos jännitelähteet ovat identtiset?

Ratkaisu: Potentiaalikuvaaja varten meidän tulee valita maadoituspiste, eli potentiaalin nollataso. Tällä valinnalla ei ole fysikaalista merkitystä, eli mikä tahansa valinta tuottaa oikean vastauksen - oikeita vastauksia on siis useita. Asetetaan maadoituspiste tällä kertaa kahden eripäin kytketyn jännitelähteen väliin ja kierretään virtapiiriä vastapäivään, jolloin potentiaali pysyy koko ajan positiivisena.

Kirchhoffin toisen lain mukaan suljetulla lenkillä potentiaalimuutosten summan on oltava nolla. Kaksi samoin päin kytkettyä jännitelähdettä nostavat potentiaalia yhteensä 4,0 V ja väärinpäin kytketty jännitelähde laskee sitä 2,0 V. Täytyy siis olla niin, että lamppu laskee potentiaalia myös 2,0 V.

Esimerkin potentiaalikuvaaja.

Ajatellaanpa vielä lopuksi ”väärinpäin” kytketyksi jännitelähteeksi säädettävä jännitelähde ja kasvatetaan pikkuhiljaa sen napajännitettä alkaen nollasta. Koska tämä vähentää jännitelähteiden yhteenlaskettua jännitettä, vähentää se myös sähkövirran kulkua (alkuperäiseen suuntaan).

Kun jännite kasvaa yhtä suureksi kuin kahden muun pariston, lakkaa virta kulkemasta (ja lamppu palamasta), sillä yhteenlaskettu jännite on nolla. Kun jännitettä edelleen kasvatetaan, kääntyy virta kulkemaan alkuperäiseen nähden päinvastaiseen suuntaan (ja lamppu syttyy uudelleen, sillä se ei välitä virran kulkusuunnasta).

Säädettävällä jännitelähteellä voidaan esimerkiksi tutkia virtapiirin muiden jännitelähteiden napajännitettä.

Jännitelähteiden rinnankytkentä

Rinnankytkentä on jälleen hieman hankalampi tapaus kuin sarjaankytkentä, joten käsitellään vain yksinkertaisin tapaus: keskenään samanlaisten paristojen rinnankytkentä.

Kun samanlaiset paristot kytketään rinnan (eli plus-navat plusnapoihin ja miinus-navat miinus-napoihin) ovat niiden plus-navat ja miinus-navat samassa potentiaalissa. Toisin sanoen niiden yhteinen napajännite on sama kuin yksittäisestä paristosta mitattu napajännite. Kun sisäiset resistanssit otetaan huomioon, huomataan että koska ne on kytketty rinnan, on niiden yhteenlaskettu resistanssi pienempi kuin yksittäisen pariston sisäinen resistanssi. Tästä seuraa, että rinnankytkettyjen paristojen läpi kulkee hieman suurempi virta kuin yksittäisestä paristosta kulkisi (ero on pieni).

Tärkein syy kytkeä paristoja rinnan on se, että sähkövirta jakautuu paristojen välille. Kuten näemme luvussa Teho ja energiankulutus, tämä tarkoittaa yksittäiselle paristolle pienempää tehohäviötä ja siten pidentää paristojen käyttöikää. Esimerkiksi lamppuun kytketyt kolme rinnankytkettyä paristoa kestävät noin kolme kertaa kauemmin kuin yksi paristo kestäisi.

Jos rinnan kytketään napajännitteeltään erisuuruisia paristoja, niissä kulkee virtaa silloinkin, kun ne eivät ole kytkettynä muihin komponentteihin. Tämä lyhentää paristojen käyttöikää ja altistaa virtapiiriä turhalle lämpenemiselle. Tästä syystä rinnankytketyt paristot tulisi aina vaihtaa kerralla keskenään samanlaisiin paristoihin.

Palaako tämä lamppu kirkkaammin kuin yhdellä jännitelähteellä, jos jännitelähteet ovat identtiset?

Monimutkaiset virtapiirit

Virtapiirilaskuista saa halutessaan tehtyä erittäin haastavia lisäämällä komponentteja ja virtasilmukoita kytkentäkaavioon. Käydään läpi yksi esimerkki tällaisesta laskuista, jotta perusidea tulisi tutuksi.

Esimerkki: Oheisessa kytkennässä on kaksi jännitelähdettä ja neljä vastusta. Ylemmän jännitelähteen lähdejännite on 5,0 V ja alemman jännitelähteen lähdejännite on 9,0 V. Rinnankytkettyjen vastusten resistanssi on jokaiselle vastukselle 100 Ω ja niiden kanssa sarjaankytketyn vastuksen resistanssi on 200 Ω. Jännitelähteiden sisäinen resistanssi kummallekin jännitelähteelle on 2,0 Ω.

Määritä piirin eri osissa kulkevien sähkövirtojen suuruudet ja vastusten jännitehäviöt kahdessa tilanteessa

a) Kytkin on auki

b) Kytkin on kiinni

Ratkaisu: a) Yksinkertaistetaan jälleen tilannetta laskemalla neljän vastuksen yhdistelmän kokonaisresistanssi. Kolmen rinnankytketyn vastuksen kokonaisresistanssi Rr saadaan laskettua kuten aiemmassa esimerkissä:

Kun lisätään tämän kanssa sarjaan vielä 200 Ω vastus, saadaan vastusten kokonaisresistanssiksi

Kun kytkin on auki, on virtapiirissä tämän lisäksi vielä 5,0 V jännitelähde ja sen sisäinen resistanssi. Kun sisäinen resistanssi lisätään vastusten resistanssiin, saadaan piirin kokonaisresistanssiksi

Tämän avulla saadaan sähkövirran suuruus piirissä Ohmin lakia käyttäen

Tämä virta kulkee niissä osissa, joissa virtapiiri ei ole haarautunut. Rinnankytkettyjen vastusten kohdalla kulkee tästä täsmälleen kolmasosa (Kirchhoffin I laki)

Rinnankytkettyjen vastusten jännitehäviöt ovat jokaiselle vastukselle

ja niiden kanssa sarjaankytketylle suuremmalle vastukselle

Lisäksi sisäinen resistanssi aiheuttaa pienen jännitehäviön.

Vastaus: Rinnankytkettyjen vastusten kohdalla kulkee noin 7,1 mA virta ja vastuksien jännitehäviöt ovat noin 0,71 V. Niiden kanssa sarjaankytketyn vastuksen läpi kulkee noin 21 mA virta ja sen jännitehäviö on noin 4,2 V.

b) Kun kytkin on suljettuna, meillä on kaksi suljettua lenkkiä, joissa kummassakin kulkee sähkövirta. Ensin täytyy jälleen ratkaista sähkövirtojen suuruudet eri osissa virtapiiriä.

Emme aluksi tiedä edes mihin suuntaan virta kulkee, joten meidän täytyy arvata virran suunta virtapiirin eri osissa. Jos tämä arvaus menee pieleen, huomaamme sen kyllä laskun aikana ja voimme kommentoida sitä lopullisessa vastauksessa.

Kolmen sähkövirran ratkaisemiseen tarvitaan kolme yhtälöä. Kirchhoffin I laista saamme sähkövirroille yhden yhtälön

Kaksi muuta yhtälöä saamme Kirchhoffin II laista. Potentiaalimuutosten summa suljetulla lenkillä on nolla, joten alemmassa ja ylemmässä virtapiirissä voidaan kirjoittaa yksi yhtälö kummassakin.

Kytkin suljettuna piirissä on kolme erisuuruista sähkövirtaa

Alemmassa piirissä lähdejännite on sama kuin jännitehäviöiden summa (voimme käyttää a)-kohdassa laskettua vastusten kokonaisresistanssia)

Ylemmällä lenkillä saadaan vastaavasti

Nämä kolme yhtälöä muodostavat yhtälöryhmän, joka voidaan ratkaista esimerkiksi CAS-laskimella

CAS-laskimella ratkaistuna saadaan sähkövirtojen suuruuksiksi

Ylimmässä lenkissä kulkevasta sähkövirrasta I₁ tulee negatiivinen. Tämä tarkoittaa, että alussa valitsemamme suunta sähkövirralle on virheellinen ja todellisuudessa virta kulkee ylhäällä vastakkaiseen suuntaan. Alempi jännitelähde on siis riittävän voimakas työntämään sähkövirran ylhäällä jännitelähteen yli ”väärään” suuntaan.

Sähkövirrat on laskettu, kunhan muistetaan vielä mainita, että rinnankytkettyjen vastusten kohdalla virta I₂ jakautuu kolmeen osaan. Vastusten jännitehäviöt lasketaan samoin kuin a)-kohdassa. Rinnankytketyille vastuksille saadaan jokaiselle jännitehäviö

ja niiden kanssa sarjaankytketylle suuremmalle vastukselle

Lisäksi voidaan mielenkiinnon vuoksi laskea alemman jännitelähteen sisäisen resistanssin aiheuttama jännitehäviö

joka on samaa suuruusluokkaa kuin vastusten jännitehäviöt. Nähdään, että jälleen kierrettäessä alempaa virtasilmukkaa jännitehäviöt summautuvat Kirchhoffin toisen lain mukaisesti samaan arvoon kuin lähdejännite.

Vastaus: Virtapiirin eri osissa kiertävien sähkövirtojen suuruudet ovat noin

Tämän lisäksi virta I₂ jakautuu kolmeen osaan rinnankytkennän kohdalla (I ≈ 0,010 A). Vastuksien jännitehäviöt ovat suuruudeltaan noin 6,0 V ja 1,0 V.

Tehtävät

Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen

28. a) Kirjoita virtapiirin virrat I1 − I4 Kirchoffin 1. lain avulla

b) Selvitä I3, kun I2 = 2,3 mA ja I4 = 4,6 mA

b) 2,3 mA

29. Piirrä virtapiiriin virran suunta sekä kaikki siinä kulkevat virrat. Aseta rinnankytkennän alueet A–C virran mukaiseen suuruusjärjestykseen. Virtapiirin vastusten resistanssit ovat yhtäsuuret.

Virta lähtee liikkeelle lähteestä, ja jakautuu kolmeen pienempään virtaan haarakohdassa.

IA > IB = IC

30. Piirrä virtapiiri, jossa on jännitelähde, rinnan kytketyt vastukset ja virtamittarit ennen haarautumista ja toisessa haarassa. Kuinka suuri virta kulkee mittaamattomassa haarassa, kun saat mittauksista tulokset Iyhdistetty = 3,1 mA ja Ihaara1 = 1,9 mA?

1,2 mA

31. Tutkiessa virtapiirejä on usein hyödyllistä jakaa virtapiiri pienempiin osiin. Piirrä annetusta virtapiiristä kolme pienempää virtapiiriä.

32. Tehtävän 28 virtapiirissä ylempi lamppu aiheuttaa nyt resistanssin R ja alempi lamppu resistanssin 3R. Kummassa lampussa kulkee suurempi virta ja kuinka paljon suurempi suurempi virta on verrattuna pienempään? Tehtävässä ei tule huomioida tehtävän 28 arvoja.

I2 = 3I3

33. Vastukset R1 = 75 Ω, R2 = 33Ω ja R3 = 54 Ω kytketään sarjaan. Mikä on kytkennän aiheuttama vastus?

R = 162 Ω

34. Piirrä yksinkertaistettu virtapiiri ja laske virtapiirin vastus

R = 279 Ω

35. Vastukset R1 = 75 Ω, R2 = 33 Ω ja R3 = 54 Ω kytketään rinnan. Mikä on kytkennän aiheuttama vastus?

R = 16 Ω

36. Tehtävän 29 virtapiirissä jokainen vastus aiheuttaa nyt resistanssin R = 230 Ω. Laske piirissä kulkeva virta, kun jännitelähde aiheuttaa jännitteen U = 12,0 V.

104 mA

37. Selvitä napajännite, kun jännitelähteen lähdejännite on E = 4.5 V ja sisäinen resistanssi Rs = 20 Ω ja piirissä kulkee virta I = 44 mA.

3,6 V

38. Virtapiirissä on sarjaan kytketyt vastukset R1 = R2 = 110 Ω, jännitelähde, jolla on lähdejännite E = 5.5 V ja sisäinen resistanssi Rs = 20 Ω. Selvitä virtapiirissä kulkeva virta.

23 mA

39. Ainolla on kuvan mukainen virtapiiri. Kuvan molemmilla paristoille on jännite U. Pystyykö Aino sammuttamaan lampun kytkemällä sarjaan lisää paristoja, kun

a) Ainolla on käytössä rajaton määrä paristoja, joiden jännite on U

b) Ainolla on käytössä yksi paristo jännitteellä U?

a) pystyy

b) ei

40. Millä kytkennällä

a) lamput palavat kirkkaimmin

b) paristot kestävät pisimpään?

Paristot ja lamput ovat identtisiä.

a) kytkentä a

b) kytkentä c

41. Selvitä virtapiirin eri kohdissa kulkevat virrat, kun

a) kytkin on auki

b) kytkin on kiinni.

Virtapiirissä kulkee neljä virtaa Ir ≈ 39,7 mA, I1 ≈ 119,0 mA, I2 ≈ 1008,3 mA ja I3 ≈ 1127 mA.

42. Vastuksen resistanssi RX määritetään oheisella Wheatstonen siltakytkennällä. Tunnettujen vastusten resistanssit ovat R1 = 2, 00 kΩ ja R2 = 3,00 kΩ. Piirissä on myös säätövastus. Kun sen resistanssi säädetään arvoon RS = 1,48 kΩ, niin pisteiden b ja d väliseksi potentiaalieroksi tulee 0 V. Tällöin virtamittarin läpi ei kulje sähkövirtaa. Kuinka suuri on tuntemattoman vastuksen resistanssi RX?

(YO, K2017)

2,22 kΩ