Sähkömagneettinen vuorovaikutus

Palataan vielä lopuksi sähkömagneettisen vuorovaikutuksen tarkasteluun mikrotasolla, erityisesti sen vaikutukseen yksittäisen hiukkasen liikkeeseen. Tähän meille periaatteessa riittää kahden hiukkasen välisen Coulombin voiman lauseke, mutta tarkastelu helpottuu, kun otamme lisäksi käyttöön sähkökentän käsitteen.

Coulombin laki

Kahden sähköisesti varatun kappaleen tai hiukkasen välisen voiman suuruus lasketaan käyttämällä Coulombin lakia, joka on tyhjiössä kirjoitettuna

Lasketaan ensin varattuun kappaleeseen vaikuttava kokonaisvoima muutamassa yksinkertaisessa tilanteessa. Tämän jälkeen siirrytään tutkimaan varatun hiukkasen liikettä yleisemmin, esimerkiksi sähköisesti varattujen johdinlevyjen välissä.

Voimien yhteenlasku

Jos kappaleeseen kohdistuu useampi kuin yksi voima, saadaan siihen vaikuttava kokonaisvoima, kun kaikki vaikuttavat voimat lasketaan yhteen. Tämä on alkuun hankalampaa kuin miltä se kuulostaa, sillä voimat ovat vektoreita ja niiden yhteenlasku noudattaa eri sääntöjä kuin tavallisten numeroiden yhteenlasku.

Yksinkertaisin tilanne on silloin, kun voimat osuvat samalle suoralle. Sähköisen voiman kohdalla niin käy aina silloin, kun kolme varattua hiukkasta on samalla suoralla. Tällöin kannattaa tehdä seuraavasti:

1. Piirrä tilanteesta kaavakuva ja mieti mihin suuntaan voimat vaikuttavat. Jos ne vaikuttavat samaan suuntaan, ne lasketaan yhteen. Jos ne vaikuttavat vastakkaisiin suuntiin, pitää laskea niiden erotus.

2. Laske tarvittavat voimat erikseen. Coulombin lain lausekkeeseen tulee aina kaksi varausta ja niiden välinen etäisyys.

3. Laske saadut voimat yhteen (eli laske voimien suuruuksien summa tai erotus tarpeen mukaan)

4. Päättele vielä lopuksi kumpaan suuntaan kokonaisvoima vaikuttaa. (Jos voimat vaikuttavat vastakkaisiin suuntiin, suuremman voiman suunta on oikea).

Samaan suuntaan vaikuttavat voimat.

Vastakkaisiin suuntiin vaikuttavat voimat.

Esimerkki: Kalsium-ionin Ca²⁺ vastakkaisilla puolilla on kaksi litiumionia Li⁺, yksi 10 nm ja toinen 20 nm etäisyydellä. Määritä kalsiumioniin kohdistuva kokonaisvoima, kun hiukkaset ovat tyhjiössä.

Ratkaisu: Piirretään tilanteesta voimakuvio, jossa näkyy kalsiumioniin kohdistuvat voimat. Kalsiumiin kohdistuu kaksi vastakkaissuuntaista voimaa, joiden suuruudet kannattaa laskea ensin erikseen.

Käy tarkasti läpi voimien suunnat ja suhteelliset suuruudet

Voimien suuruudet saadaan Coulombin lain avulla

Lasku on molemmille voimille sama lukuunottamatta ionien välistä etäisyyttä. Koska pidempi etäisyys (r₂ = 20 nm) on täsmälleen kaksi kertaa lyhyempi etäisyys (r₁ = 10 nm), voidaan jälkimmäistä laskua hieman sieventää:

Ensimmäinen voima saadaan alkeisvarauksen suuruuden e ja vakion k avulla, ja jälkimmäisen voiman suuruus F2 on neljäsosa tästä tuloksesta:

Voimat vaikuttavat vastakkaisiin suuntiin, joten kokonaisvoiman suuruus on niiden erotus

Lopuksi pitää vielä päätellä kalsium-ioniin vaikuttavan kokonaisvoiman suunta. Vastakkaissuuntaisten voimien tapauksessa suunta on aina suuremman voiman suunta, joten tässä tapauksessa kokonaisvoima suuntautuu kohti kauempana olevaa litium-ionia.

Vastaus: Kalsium-ioniin kohdistuu noin 3,5 pN suuruinen voima kohti kauempana olevaa litium-ionia.

Esimerkki: Mikä olisi edellisen esimerkin sähköisen voiman suuruus tislatussa vedessä, jonka suhteellinen permittiivisyys on noin εr ≈81?

Ratkaisu: Kun Coulombin lakia käytetään jossakin tyhjiöstä merkittävästi poikkeavassa väliaineessa, otetaan väliaineen sähköiset ominaisuudet huomioon käyttämällä suhteellista permittiivisyyttä. Coulombin laissa tämä näkyy nimittäjässä (vertaa aiempaan):

Laskusta tulee sama, mutta nimittäjässä on edelliseen verrattuna ylimääräinen tekijä εr = 81, joka pienentää lopputulosta. Voimme oikaista ja laskea voiman suuruuden vedessä jakamalla edellisen esimerkin tuloksen tällä tekijällä:

Vastaus: Vedessä voiman suuruus olisi vain noin 0,043 pN.

Laskusta tulee vaikeampi, jos varaukset eivät ole samalla suoralla. Ratkaisumenetelmä on samanlainen kuin yllä, mutta kokonaisvoiman suuruus ja suunta on hankalampaa päätellä. Otetaan tässä yksinkertaisuuden vuoksi vain tapaus, jossa vaikuttavat voimat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Voimien yhteenlaskuun palataan FY4-kurssilla, jolloin käydään läpi myös yleisempi tapaus, jossa voimien välinen kulma voi olla mitä vain.

1. Piirrä tilanteesta kaavakuva ja mieti mihin suuntaan voimat vaikuttavat. Hahmottele kokonaisvoiman suunta.

2. Laske tarvittavat voimat erikseen. Coulombin lain lausekkeeseen tulee aina kaksi varausta ja niiden välinen etäisyys.

3. Laske kokonaisvoiman suuruus suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituutena. 4. Laske kokonaisvoiman suunta suorakulmaisesta kolmiosta tangentin avulla. Esimerkki: Asetetaan koordinaatistoon kolme pistemäistä varattua hiukkasta: A (QA = −2e) on origossa, B (QA = +e) on pisteessä (0,1) ja C (QA = +3e) pisteessä (2,0). Yksi koordinaatiston ruutu vastaa yhtä nanometriä. Mikä on hiukkaseen A kohdistuva kokonaisvoima tyhjiössä?

Ratkaisu: Piirretään tilanteesta voimakuvio. Sekä B että C ovat positiivisia, joten ne kohdistavat vetävän voiman A:han, jonka varaus on negatiivinen. Kokonaisvoima kohdistuu siis jonnekin koordinaatiston ensimmäisessä neljänneksessä. Lasketaan ensin erikseen B:n ja C:n A:han kohdistamien voimien suuruudet:

Kahden toisiaan kohtisuorassa olevan voiman yhteenlasku.

Voimien suuruudet ovat suuntaa antavia.

Nämä kaksi vektorin pituutta ovat kateetit suorakulmaisessa kolmiossa, jonka hypotenuusan pituus on A:han vaikuttavan kokonaisvoiman suuruus:

Lopuksi pitää vielä selvittää voiman suunta. Se saadaan samasta suorakulmaisesta kolmiosta tangentin avulla. Kun α on kokonaisvoiman ja x-akselin välinen kulma:

Voimien yhteenlasku.

Vastaus: Hiukkaseen A vaikuttavan voiman suuruus on noin 0,58 nN ja voiman muodostaa noin 51 asteen (positiivisen) kulman positiivisen x-akselin kanssa.

Tehtävät

Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen.

55. Natrium-ioni Na+ on 25 nm etäisyydellä kloori-ionista Cl. Kuinka suuri voima vaikuttaa natriumiin

a) alkuperäisessä tilanteessa

b) kun tilanteeseen lisätään toinen kloori-ioni samalle suoralle 30 nm etäisyydelle natriumista ja 5 nm etäisyydelle kloorista?

a) 3,6 pN voima kloori-ionia kohti.

b) 5,1 pN voima kloori-ioneja kohti.

56. Kolme hiukkasta A, B ja C ovat suoralla 9 mm etäisyydellä toisistaan. Hiukkasilla on varaukset QA = 2Q, QB = Q ja Qc = 3Q (Q = 3,2 nC). Kuinka suuri voima vaikuttaa keskimmäiseen hiukkaseen

a) tyhjiössä

b) vedessä

a) 1,2 mN

b) 0,015 mN

57. Koordinaatistossa on kolme pistemäistä varausta Q1 = 24 nC, Q2 = 16 nC ja Q3 = −21 nC. Pisteet on asetettu kuvan mukaisiin koordinaatteihin. Selvitä origossa olevaan varaukseen vaikuttava voima.

Origossa olevaan hiukkaseen vaikuttaa voima Fkok ≈ 40N, joka muodostaa −30° kulman x-akselin suhteen.