Värähtely ja aaltoliike

Luonnossa esiintyy paljon jaksollista liikettä. Esimerkeistä käyvät vaikkapa kopernikaanisen mallin planetaariset liikkeet, joita jo katsoimme: Maa kiertää Aurinkoa samanlaisella radalla vuodesta toiseen, joten jokainen kierros on toisensa kaltainen.

Värähtelyllä tarkoitetaan sellaista jaksollista liikettä, jossa liikutaan edestakaisin. Esimerkiksi jouset ja heilurit voivat värähdellä, mutta niin voivat värähdellä myös esimerkiksi atomit ja atomien väliset sidokset.

Aaltoliikkeen syntyyn tarvitaan monta toisiinsa yhteydessä olevaa värähtelijää. Kun yksi näistä alkaa värähdellä, se saa viereiset värähtelijät värähtelemään. Tämä toistuu ja värähtely ja siihen liittyvä energia kulkee paikasta toiseen. Vaikka jokainen yksittäinen värähtelijä värähtelee paikallaan, havaitsemme aallon, joka kulkee paikasta toiseen.

Värähdysliike

Värähtely on edestakaista jaksollista liikettä. Värähtelijä ei liiku paikasta toiseen, vaan tasapainoasemansa molemmin puolin. Tasapainoasemassa värähtelijään vaikuttavat voimat ovat tasapainossa, eli ne kumoavat toisensa. Tasapainoasemaan päädytään silloin, kun värähtely vaimenee ja lopulta pysähtyy kokonaan. Esimerkiksi langasta ja punnuksesta rakennetun heilurin tasapainoasema on siinä kohdassa, jossa langasta roikkuva heiluri olisi ilman värähdysliikettä.

Värähtelyssä on eri vaiheita: esimerkiksi jousen varassa värähtelevä punnus voi olla ääriasemassa, tasapainoasemassa tai jotain siltä väliltä. Useampi samanlainen värähtelijä voi siis värähdellä samassa vaiheessa (jos ne ovat jokaisella hetkellä samassa vaiheessa) tai eri vaiheessa.

Kun värähtelijä liikkuu yhden värähdyksen eli jakson se päätyy samaan vaiheeseen kuin mistä lähti liikkeelle. Tähän kuluvaa aikaa kutsutaan jaksonajaksi, jonka symboli on T ja yksikkö on sekunti.

Heiluri on tarkalleen ottaen värähdysliikkeessä (edestakaisessa liikkeessä) vain pienillä heilahduskulmilla.

Tilanteesta riippuen jaksonaikaa kutsutaan myös esimerkiksi heilahdusajaksi tai värähdysajaksi. Värähdysten määrää yhdessä sekunnissa kutsutaan taajuudeksi, jonka symboli on f . Taajuus saadaan jaksonajan avulla

joten taajuuden yksikkö on 1/s . Jotta tämän erottaisi paremmin esimerkiksi pyörimisnopeuden yksiköstä, käytetään taajuuden yksikkönä hertsiä 1/s = Hz . Värähtelyn suuruutta eli suurinta poikkeamaa tasapainoasemasta kutsutaan värähtelyn amplitudiksi ja sen symboli on A. Amplitudin kanssa pitää olla tarkkana, sillä se on nimenomaan tasapainoaseman ja ääriaseman etäisyys, ei siis vastakkaisten ääriasemien välinen etäisyys (joka on 2 · A).

Kaikki tässä mainitut termit pätevät värähtelyn lisäksi myös aaltoliikkeelle.

Kuvan värähtelijan amplitudi on 3 m, jaksonaika 2 s ja taajuus 0,5 Hz. Kuvaan mahtuu noin neljä värähdystä.

Harmoninen voima

Yksinkertainen malli värähtelijälle on niin kutsutun harmonisen voiman aiheuttama harmoninen värähtely. Esimerkiksi kevyen jousen varassa värähtelevän punnuksen liikettä voi hyvin kuvata harmonisena värähtelynä.

Malli on yksinkertainen, mutta motivoidaan se esimerkin avulla: jousen venymää testaamalla. Jos venytät jousta sormellasi, huomaat kuinka jousi kohdistaa sormeesi sitä suuremman voiman, mitä enemmän sitä venytät. Jousi ”haluaa” palautua (venyttämättömään) tasapainoasemaansa ja sen aiheuttama voima on siis tätä kohti. Tätä jousen palauttavaa voimaa kutsutaan jousivoimaksi.

Ripustetaan jousi telineeseen ja lisätään siihen punnuksia, joiden massat tunnetaan ja mitataan kuinka paljon jousi venyy milläkin venyttävällä massalla. Mittaukset tehdään aina staattisesta tilanteesta: aina kun lisäät punnuksen, löytää jousi uuden tasapainoaseman, jossa se ei värähtele. Tällöin punnuksen aiheuttama vetävä voima (punnuksen paino) ja jousen palauttava voima (jousivoima) ovat tasapainossa.

Jousivoiman suuruus F on siis samansuuruinen ja vastakkaissuuntainen kuin punnuksen painovoima G, joka tunnetaan. Verrataan tätä jousen venymään x ja piirretään tuloksista (x,F)-kuvaaja.

Tuloksena on suora, jonka kulmakerroin kertoo kuinka paljon voimaa tarvitaan aikaansaamaan halutun suuruinen venymä. Tätä kulmakerrointa kutsutaan jousen jousivakioksi. Jäykemmät jouset venyvät samalla painolla vähemmän kuin löysät jouset, joten niiden jousivakio on suurempi.

Venyttävä voima venymän funktiona.

Vektoriyhtälönä kirjoitettuna venyttävän voiman ja jousen venymän suunta tulee vielä ottaa huomioon. Jousivoima on aina vastakkaiseen suuntaan kuin venymä, joten vektorimuodossa voimalla ja venymällä on vastakkaiset merkit:

Jousivoiman yhtälö tunnetaan myös Hooken lakina löytäjänsä mukaan.

Jos venytät jousta yhteen suuntaan ja päästät irti, voima saa sen kiihtyvään liikkeeseen vastakkaiseen suuntaan.

Tasapaino-asemassa jousivoima ja painovoima ovat yhtä suuret.

Kun jousta venyttää, jousivoima kasvaa painovoimaa suuremmaksi.

Kun jousi puristuu kokoon, on kokonaisvoima alaspäin, kohti tasapainoasemaa.

Mitä tahansa voimaa, joka toteuttaa jousivoiman yhtälön, kutsutaan harmoniseksi voimaksi. Jousivoima on siitä yksi esimerkki, mutta harmonisia voimia on monia muitakin. Harmoniselle voimalle pätee:

1. Sen suuruus on suoraan verrannollinen poikkeamaan tasapainoasemasta.

2. Sen suunta on kohti tasapainoasemaa.

Kun jouseen asetetaan punnus, se venyy ja asettuu uuteen tasapainoasemaan, jossa jousivoima ja punnuksen paino ovat tasapainossa. Kun jousi saatetaan värähtelemään tämän tasapainoaseman ympärillä venyttämällä sitä lisää, voidaan puhua uudesta jousivoimasta, joka vaikuttaa värähtelyssä, ja unohtaa alkuperäinen venymä ja painovoima, sillä ne kumoavat toisensa. Tämä voi kuulostaa aluksi sekavalta, mutta auttaa huomaamaan kuinka jousivoimalla yleensä tarkoitetaan nimenomaan värähtelyn aiheuttavaa harmonista voimaa, joka vaikuttaa suhteessa tasapainoasemaan.

Värähtelijään vaikuttava kokonaisvoima on harmoninen voima. Tasapaino-asemassa sen suuruus on nolla.

Kun jousta venyttää, kokonaisvoima on kohti tasapainoasemaa

Kun jousi puristuu kokoon, kokonaisvoima on kohti tasapainoasemaa.

Harmoninen värähtelijä kulkee siis ääriasemasta toiseen tasapainoasemansa kautta ja kullakin hetkellä siihen vaikuttaa harmoninen voima, joka aiheuttaa kiihtyvyyden kohti tasapainoasemaa. Aina, kun tasapainoasema ylitetään, vaihtuu voiman suunta vastakkaiseksi ja samalla kiihtyvästä liikkeestä tulee hidastuvaa liikettä. Värähtelijä saavuttaa siksi suurimman nopeutensa tasapainoasemansa kohdalla, kun taas pienin nopeus (v = 0) löytyy värähtelyn ääriasemista.

Tämä nähdään myös jousen potentiaalienergiaa tarkastelemalla. Kun jousta venytetään, siihen varastoituu potentiaalienergiaa. Venymän x avulla kirjoitettu jousen potentiaalienergian lauseke on

Tämän maksimiarvo saavutetaan maksimivenymällä, jolloin x = A,

Kun venymä palautuu kohti tasapainoasemaa, potentiaalienergiaa muuttuu liike-energiaksi

Ääriasemassa kaikki energia on potentiaalienergiaa, tasapainoasemassa kaikki energia on liike-energiaa. Siksi nopeus on ääriasemassa nolla ja saavuttaa maksimiarvonsa tasapainoaseman kohdalla.

Jousivoima on samalla hyvä esimerkki fysiikan mallin (tai ”fysiikan lain”) käytöstä. Jousivoima on suoraan verrannollinen jousen venymään, mutta on selvää, että lailla on tässä tapauksessa hyvin rajallinen soveltuvuusalue. Malli toimii toki hyvin, kun venymät ovat pieniä suhteessa jousen pituuteen, mutta on selvää ettei ole mitään mieltä käyttää harmonisen voiman mallia jouseen, jos venymä on esimerkiksi sata metriä. Jokaisella fysiikan teorialla on oma soveltuvuusalueensa, puhuttiinpa sitten jousivoimasta tai yleisestä suhteellisuusteoriasta.

Vaimeneva värähtelijä

Kun testaamme jousen varassa värähtelevää punnusta, heiluria tai mitä tahansa värähtelijää, värähtelyn amplitudi (ja samalla värähtelyn energia) pikkuhiljaa pienenee. Värähtelyn vaimeneminen johtuu liikettä vastustavista voimista, esimerkiksi kitkasta ja ilmanvastuksesta, jotka tekevät työtä. Lämpöopin toisen pääsäännön valossa entropia lisääntyy, kun värähtelyn energia muuttuu pikkuhiljaa lämpöenergiaksi.

Oikeat makroskooppiset värähtelijät ovat aina vaimenevia värähtelijöitä, mutta usein vaimeneminen tapahtuu niin hitaasti, että sitä ei ole välttämätöntä ottaa huomioon värähdysliikettä mallinnettaessa.

Vaimenevan värähtelijän amplitudi pienenee ajan myötä, mutta sen taajuus ei muutu.

Värähdysaika

Erilaiset jouset värähtelevät eri tavoin. Jos useampaan jouseen on kiinnitetty saman verran venyttävää massaa nähdään, että jäykimpien jousten jaksonajat, eli värähdysajat, ovat kaikkein lyhimmät. Mitä löysempi jousi on, sitä suurempi sen värähdysajasta tulee. Samoin voidaan testata yhdellä jousella miten jouseen kiinnitetty massa vaikuttaa värähdysaikaan - mitä suurempi massa on, sitä pidempi on värähdysaika.

Teorian tasolla tämä nähdään Newtonin II laista johdettavalla laskukaavalla harmonisen värähtelijän jaksonajalle sen jousivakion ja massan avulla

Tähän kaavaan ilmestyvä 2π liittyy radiaaneissa mitattuun täyskulmaan. Kun värähtelijä liikkuu yhden jakson, se on palannut lähtöpaikkaansa.

Esimerkki: Kevyen jousen päähän on kiinnitetty punnus, jonka massa on paljon suurempi kuin jousen massa. Jousi saatetaan värähtelemään ja mitataan sen värähdysaika. Koe toistetaan kahdella muutoksella, miten ennustat jaksonajan muuttuvat, kun

a) Jouseen ripustetaan lisäksi toinen samanlainen punnus?

b) Jousen ja punnuksen väliin lisätään toinen samanlainen jousi?

Ratkaisu: Molemmissa kohdissa tarkastellaan värähdysajan yhtälöä ja muutetaan joko massaa tai jousivakiota.

1. Ensin massa kaksinkertaistetaan. Vertaamalla kahta massaa

Nähdään, että kaksinkertaisella massalla mitattu värähdysaika on noin 41% alkuperäistä pidempi.

2. Kun lisätään toinen jousi, värähtelijän massa ei merkittävästi muutu, mutta jousivakio muuttuu. Venyttävä voima on sama, joten verrataan jousivoiman yhtälöä kahdessa tilanteessa. Oleellista on huomata, että venyttävä massa venyttää kumpaakin jousta, joten venymästä tulee kaksinkertainen:

Yhtälöpari toteutuu jos ja vain jos

Palataan nyt värähdysajan yhtälöön ja verrataan kahta tapausta

Toisen jousen lisääminen kasvattaa värähdysaikaa saman verran kuin toisen punnuksen lisääminen.

Vastaus: Punnuksen tai jousen lisääminen pidentää värähdysaikaa noin 41%.

Tarkista pitääkö seuraava väite paikkansa: Jos lisättäisiin sekä jousi että punnus, tulisi värähdysajasta kaksinkertainen alkuperäiseen verrattuna.

Tehtävät

Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen.

32. Selitä lyhyesti, minkälainen on värähdysliike ja annan esimerkkitapaus tästä liikkeestä.

Värähdysliikkeellä tarkoitetaan kappaleen tasapainoaseman ympärillä tapahtuvaa jaksollista liikettä, jossa samat vaiheet toistuvat säännöllisin aikavälein. Esimerkiksi kun jouseen kiinnitetään punnus, syntyy värähdysliikettä.

33. Selitä lyhyesti, minkälainen on harmoninen voima ja anna esimerkkitapaus harmonisesta värähtelijästä.

Harmonisella voimalla tarkoitetaan kappaleeseen kohdistuvaa voimaa, joka suuntautuu aina kappaleeseen tasapainoasemaa kohti ja on suoraan verrannollinen tasapainoasemasta mitattuun etäisyyteen. Kappaleen ollessa tasapainoasemassa harmoninen voima on nolla. Esimerkiksi heiluri on harmoninen värähtelijä.

34. Eräässä oppilastyössä tutkittiin jousen pituuden muutosta ripustamalla sen päähän eri massaisia punnuksia. Jousen alkuperäinen pituus on 15,0 cm ja yhden punnuksen massa on 50 grammaa. Tulokset taulukoitiin seuraavasti:

Minkälaisen riippuvuuden huomaat punnuksen massan ja jousen pituuden välillä taulukon perusteella? Määritä graafisesti kyseisen jousen jousivakio.

k ≈ 2, 1 N/m

35. Mitä tarkoitetaan ominaistaajuudella ja resonanssilla? Anna esimerkkitilanne, jossa esiintyy ominaistaajuutta ja resonanssia.

Ominaistaajuudella tarkoitetaan sitä taajuutta, jolla tasapainosta poikkeutettu värähtelijä värähtelee päästessään värähtelemään vapaasti. Esimerkiksi kitaran jännitetyllä kielellä on useita ominaistaajuksia.

Resonanssi on eräs fysikaalinen ilmiö. Kun kappale on resonanssissa, kun siihen vaikuttaa jaksollinen voima, jonka taajuus on sama kuin kappaleen ominaistaajuus. Esimerkiksi äänirauta pakottaa toisen ääniraudan värähtelemään, jos toinen äänirauta on identtinen.

36. Kevyt jousi, johon on ripustettu punnus (m = 25 g), kiinnitetään liukkaalle alustalle vaakasuoraan. Tämän jälkeen jousta venytetään vielä 3,50 cm. Mikä on punnuksen kiihtyvyys, kun päästetään punnuksesta irti? Jousen jousivakio on 35,2 N/m.

45,5 m/s²

37. Ripustetaan kahta kevyttä jousta peräkkäin ja kiinnitetään jousisysteemiin punnus, joka painaa 120 grammaa. Kuinka paljon jouset venyvät yhteensä, jos ylemmän jousen jousivakio on 53 N/m ja alemman jousen jousivakio 38 N/m?

5,3 cm

38. Kuvan mukainen harmoninen värähtelijä alkaa värähdellä ylös ja alas jousivakiolla 29 N/m. Millä taajuudella kyseinen harmonien värähtelijä värähtelee?

1,5 Hz